Номер 1, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. При каких значениях угла треугольника квадрат стороны, лежащей против этого угла:

а) меньше суммы квадратов двух других сторон;

б) равен сумме квадратов двух других сторон;

в) больше суммы квадратов двух других сторон?

Для решения этой задачи воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Рассмотрим треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, который лежит напротив стороны $c$. Теорема косинусов гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Из этой формулы мы можем сравнить $c^2$ с суммой $a^2 + b^2$. Результат сравнения зависит от знака слагаемого $-2ab \cos(\gamma)$. Так как длины сторон $a$ и $b$ всегда положительны, знак этого выражения определяется знаком $\cos(\gamma)$. Угол треугольника $\gamma$ может принимать значения в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$.

а) меньше суммы квадратов двух других сторон

Требуется найти значения угла $\gamma$, при которых выполняется неравенство $c^2 < a^2 + b^2$.
Подставим в него выражение для $c^2$ из теоремы косинусов:
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) < a^2 + b^2$
Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:
$-2ab \cos(\gamma) < 0$
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $2ab > 0$. Разделив неравенство на отрицательное число $-2ab$, мы должны изменить знак неравенства на противоположный:
$\cos(\gamma) > 0$
Косинус угла положителен, если этот угол является острым. Для угла треугольника это означает, что $0^\circ < \gamma < 90^\circ$.
Ответ: Угол должен быть острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

б) равен сумме квадратов двух других сторон

Требуется найти значения угла $\gamma$, при которых выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$. Это соотношение является теоремой Пифагора.
Снова используем теорему косинусов:
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2$
Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:
$-2ab \cos(\gamma) = 0$
Так как $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то для выполнения равенства необходимо, чтобы:
$\cos(\gamma) = 0$
Косинус угла равен нулю, если этот угол является прямым. Для угла треугольника это означает, что $\gamma = 90^\circ$.
Ответ: Угол должен быть прямым ($90^\circ$).

в) больше суммы квадратов двух других сторон

Требуется найти значения угла $\gamma$, при которых выполняется неравенство $c^2 > a^2 + b^2$.
Подставим выражение для $c^2$:
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) > a^2 + b^2$
Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:
$-2ab \cos(\gamma) > 0$
Разделим неравенство на отрицательное число $-2ab$ и сменим знак неравенства:
$\cos(\gamma) < 0$
Косинус угла отрицателен, если этот угол является тупым. Для угла треугольника это означает, что $90^\circ < \gamma < 180^\circ$.
Ответ: Угол должен быть тупым (от $90^\circ$ до $180^\circ$).