Задания, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Используя теорему косинусов, докажите, что если для сторон $a, b, c$ треугольника $ABC$ выполняется неравенство $c^2 > a^2 + b^2$, то этот треугольник тупоугольный.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов. Пусть в треугольнике $ABC$ стороны имеют длины $a$, $b$, $c$. Угол, противолежащий стороне $c$, обозначим как $\gamma$.

Теорема косинусов для стороны $c$ утверждает, что: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

По условию задачи нам дано неравенство: $c^2 > a^2 + b^2$

Теперь подставим в это неравенство выражение для $c^2$ из теоремы косинусов: $a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) > a^2 + b^2$

Для того чтобы упростить полученное неравенство, вычтем из обеих его частей сумму $a^2 + b^2$: $-2ab \cos(\gamma) > 0$

Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон треугольника, они представляют собой положительные величины ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, произведение $2ab$ также является положительным числом. Разделим обе части неравенства на $-2ab$. Важно помнить, что при делении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный: $\cos(\gamma) < 0$

Угол в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. Косинус угла отрицателен в том случае, если угол является тупым, то есть его градусная мера находится в интервале $(90^\circ, 180^\circ)$.

Таким образом, из неравенства $\cos(\gamma) < 0$ следует, что угол $\gamma$ — тупой.

Треугольник, у которого один из углов тупой, по определению является тупоугольным. Следовательно, треугольник $ABC$ — тупоугольный.

Ответ: Мы доказали, что если для сторон треугольника $a, b, c$ выполняется неравенство $c^2 > a^2 + b^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, является тупым, и, следовательно, сам треугольник является тупоугольным.