Номер 14, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Используя данные, указанные на рисунке 15.7, найдите расстояние от корабля $K$ до берега $AB$. В ответе укажите целое число метров.

Для решения задачи обозначим точки на берегу как A и B, а положение корабля — как K. Таким образом, мы имеем треугольник ABK. Расстояние от корабля K до берега AB — это высота этого треугольника, проведенная из вершины K к стороне AB. Обозначим эту высоту как $h$.

По условию задачи нам известны следующие данные:

Длина стороны $AB = 540$ м.
Угол при вершине A: $\angle KAB = 70^\circ$.
Угол при вершине B: $\angle KBA = 80^\circ$.

1. Найдём третий угол треугольника.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, угол при вершине K, $\angle AKB$, можно вычислить следующим образом:$\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - (70^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2. Используем теорему синусов.
Теорема синусов для треугольника ABK гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла является постоянным для всех сторон:$\frac{AB}{\sin(\angle AKB)} = \frac{AK}{\sin(\angle KBA)} = \frac{BK}{\sin(\angle KAB)}$

Используя эту теорему, найдем длину стороны AK:$\frac{540}{\sin(30^\circ)} = \frac{AK}{\sin(80^\circ)}$Выразим AK:$AK = \frac{540 \cdot \sin(80^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

3. Вычислим высоту $h$.
Проведем высоту $h$ из вершины K к стороне AB. Пусть H — точка пересечения высоты со стороной AB. В образовавшемся прямоугольном треугольнике AKH, высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\angle KAB = 70^\circ$.Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:$\sin(\angle KAB) = \frac{h}{AK}$Отсюда $h = AK \cdot \sin(\angle KAB)$.

4. Подставим выражение для AK и вычислим $h$.
Подставим найденное ранее выражение для AK в формулу для высоты $h$:$h = \left( \frac{540 \cdot \sin(80^\circ)}{\sin(30^\circ)} \right) \cdot \sin(70^\circ) = \frac{540 \cdot \sin(80^\circ) \cdot \sin(70^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Теперь выполним вычисления, используя значения синусов:$\sin(30^\circ) = 0.5$
$\sin(70^\circ) \approx 0.9397$
$\sin(80^\circ) \approx 0.9848$

$h \approx \frac{540 \cdot 0.9848 \cdot 0.9397}{0.5} \approx \frac{499.45}{0.5} \approx 998.9$ м.

Для более точного расчета:$h = \frac{540 \cdot \sin(80^\circ) \cdot \sin(70^\circ)}{\sin(30^\circ)} \approx 999.45$ м.

Согласно условию, ответ необходимо указать в виде целого числа метров. Округляя полученное значение до ближайшего целого, получаем 999 м.

Ответ: 999