Номер 9, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В треугольнике $ABC$ $AB = 1$, $AC = BC = 2$. Найдите отрезки, на которые биссектриса $AD$ этого треугольника делит его сторону $BC$ (рис. 15.5).

Рис. 15.5

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ известны длины сторон: $AB = 1$, $AC = 2$ и $BC = 2$. Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$ и делит сторону $BC$ на два отрезка — $BD$ и $CD$.

Для нахождения длин этих отрезков воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Оно гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.

Применительно к нашему треугольнику $ABC$ и биссектрисе $AD$, это свойство можно записать в виде следующей пропорции: $ \frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB} $

Подставим в данное соотношение известные из условия значения длин сторон $AC = 2$ и $AB = 1$: $ \frac{CD}{BD} = \frac{2}{1} = 2 $

Из этого равенства следует, что длина отрезка $CD$ в два раза больше длины отрезка $BD$: $ CD = 2 \cdot BD $

Точка $D$ лежит на стороне $BC$, следовательно, сумма длин отрезков $BD$ и $CD$ равна длине стороны $BC$: $ BD + CD = BC $

Так как по условию $BC = 2$, мы получаем второе уравнение: $ BD + CD = 2 $

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 1. $ CD = 2 \cdot BD $ 2. $ BD + CD = 2 $

Для решения системы подставим выражение для $CD$ из первого уравнения во второе: $ BD + (2 \cdot BD) = 2 $

Решим полученное уравнение относительно $BD$: $ 3 \cdot BD = 2 $
$ BD = \frac{2}{3} $

Теперь, зная длину $BD$, найдем длину $CD$ из первого уравнения: $ CD = 2 \cdot BD = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $

Таким образом, биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD = \frac{2}{3}$ и $CD = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{3}$.