Номер 11, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $CD$. Докажите, что $AC : BC = \sin \angle DCB : \sin \angle DCA$.

Рассмотрим два треугольника, на которые медиана $CD$ делит исходный треугольник $ABC$: это треугольник $ACD$ и треугольник $BCD$. Для доказательства воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Применим эту формулу к треугольникам $ACD$ и $BCD$.

Для треугольника $ACD$ площадь $S_{ACD}$ выражается как:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin\angle DCA$.

Для треугольника $BCD$ площадь $S_{BCD}$ выражается как:$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin\angle DCB$.

По определению, медиана $CD$ делит сторону $AB$ на два равных отрезка: $AD = DB$. Треугольники $ACD$ и $BCD$ имеют равные основания ($AD = DB$) и общую высоту, опущенную из вершины $C$ на сторону $AB$. Следовательно, их площади равны:

$S_{ACD} = S_{BCD}$.

Теперь приравняем выражения для площадей, полученные ранее:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin\angle DCA = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin\angle DCB$.

Сократим обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{2}CD$ (длина медианы $CD$ не равна нулю):

$AC \cdot \sin\angle DCA = BC \cdot \sin\angle DCB$.

Чтобы получить требуемое соотношение, разделим обе части равенства на $BC \cdot \sin\angle DCA$ (эти величины не равны нулю в невырожденном треугольнике):

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin\angle DCB}{\sin\angle DCA}$.

Это равенство можно записать в виде пропорции: $AC : BC = \sin\angle DCB : \sin\angle DCA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Приравнивая их площади, выраженные через формулу с синусом, и сокращая общие члены, мы приходим к требуемому соотношению $AC : BC = \sin\angle DCB : \sin\angle DCA$.