Номер 6, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В треугольнике $ABC$ даны две стороны $BC = 2$, $AC = 2\sqrt{2}$ и $\angle A$, равный $30^\circ$. Найдите угол $B$.

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны.

Формула теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем случае, сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, а сторона $AC$ — напротив угла $B$. Нам даны следующие значения:

$BC = 2$

$AC = 2\sqrt{2}$

$\angle A = 30^\circ$

Составим пропорцию на основе теоремы синусов:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $

Подставим известные значения в это уравнение:

$ \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B} $

Теперь выразим $\sin B$ из этого уравнения:

$ \sin B = \frac{AC \cdot \sin 30^\circ}{BC} $

Значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим его в формулу:

$ \sin B = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{2} $

Упростим выражение:

$ \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Уравнение $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ (поскольку угол в треугольнике не может быть больше $180^\circ$) имеет два решения:

1. $B_1 = 45^\circ$

2. $B_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Необходимо проверить, возможны ли оба варианта. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$.

Проверка для $B_1 = 45^\circ$

Сумма углов $A$ и $B_1$ составит: $30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$.

Поскольку $75^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует. Угол $C$ будет равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Этот вариант является решением.

Проверка для $B_2 = 135^\circ$

Сумма углов $A$ и $B_2$ составит: $30^\circ + 135^\circ = 165^\circ$.

Поскольку $165^\circ < 180^\circ$, такой треугольник также существует. Угол $C$ будет равен $180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$. Этот вариант также является решением.

Таким образом, задача имеет два возможных ответа для угла $B$.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.