Номер 8, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$, $BC = 6$, $AC = 10$. Найдите отрезки, на которые биссектриса $CD$ этого треугольника делит его сторону $AB$ (рис. 15.4).

Рис. 15.4

Для решения данной задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Это свойство гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам треугольника.

В треугольнике $ABC$ биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$. Согласно свойству биссектрисы, справедливо следующее соотношение: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} $$

По условию задачи нам известны длины сторон: $AC = 10$, $BC = 6$ и $AB = 8$. Подставим известные значения в пропорцию: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{10}{6} $$

Упростим полученное отношение, сократив дробь на 2: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{5}{3} $$

Это означает, что длины отрезков $AD$ и $DB$ соотносятся как 5 к 3. Мы можем выразить их длины через одну переменную. Пусть $AD = 5x$ и $DB = 3x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Точка $D$ лежит на стороне $AB$, следовательно, сумма длин отрезков $AD$ и $DB$ равна длине стороны $AB$: $$ AD + DB = AB $$

Подставим в это уравнение выражения для $AD$ и $DB$ через $x$ и известную длину стороны $AB$: $$ 5x + 3x = 8 $$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$: $$ 8x = 8 $$ $$ x = 1 $$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, мы можем вычислить длины искомых отрезков: $ AD = 5x = 5 \cdot 1 = 5 $ $ DB = 3x = 3 \cdot 1 = 3 $

Таким образом, биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки длиной 5 и 3. Проверим результат: $5 + 3 = 8$, что соответствует длине стороны $AB$.

Ответ: отрезки, на которые биссектриса делит сторону $AB$, равны 5 и 3.