Номер 12, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В трапеции $ABCD$ ($AB \parallel CD$) $AB = a$, $CD = b$ ($a > b$), $\angle A = \Phi$, $\angle B = \Psi$. Выразите боковые стороны $AD$ и $BC$ трапеции через $a, b, \Phi$ и $\Psi$.

Для решения задачи воспользуемся методом проведения высот. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, причем $AB \parallel CD$, $AB = a$, $CD = b$ ($a > b$), $\angle A = \phi$, $\angle B = \psi$. Необходимо найти длины боковых сторон $AD$ и $BC$.

1. Проведем из вершин $C$ и $D$ высоты $CF$ и $DE$ на основание $AB$. Так как $AB \parallel CD$ и $DE \perp AB$, $CF \perp AB$, то $DEFC$ — прямоугольник. Следовательно, $EF = CD = b$. Высоты трапеции равны, обозначим их длину через $h$: $DE = CF = h$.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle BFC$.

В треугольнике $\triangle ADE$ ($\angle AED = 90^\circ$):

• $\sin(\angle A) = \frac{DE}{AD}$, откуда $AD = \frac{DE}{\sin(\angle A)} = \frac{h}{\sin(\phi)}$.
• $\tan(\angle A) = \frac{DE}{AE}$, откуда $AE = \frac{DE}{\tan(\angle A)} = h \cdot \cot(\phi)$.

В треугольнике $\triangle BFC$ ($\angle BFC = 90^\circ$):

• $\sin(\angle B) = \frac{CF}{BC}$, откуда $BC = \frac{CF}{\sin(\angle B)} = \frac{h}{\sin(\psi)}$.
• $\tan(\angle B) = \frac{CF}{BF}$, откуда $BF = \frac{CF}{\tan(\angle B)} = h \cdot \cot(\psi)$.

3. Длина основания $AB$ может быть представлена как сумма длин отрезков $AE$, $EF$ и $FB$:

$AB = AE + EF + FB$

Подставим известные значения:

$a = AE + b + FB$

Отсюда получаем:

$AE + FB = a - b$

4. Теперь подставим в это равенство выражения для $AE$ и $FB$, полученные на шаге 2:

$h \cdot \cot(\phi) + h \cdot \cot(\psi) = a - b$

Вынесем $h$ за скобки:

$h(\cot(\phi) + \cot(\psi)) = a - b$

Выразим высоту $h$:

$h = \frac{a - b}{\cot(\phi) + \cot(\psi)}$

5. Теперь, зная $h$, мы можем найти длины боковых сторон $AD$ и $BC$.

AD

Используем формулу $AD = \frac{h}{\sin(\phi)}$ и подставляем в нее выражение для $h$:

$AD = \frac{a - b}{(\cot(\phi) + \cot(\psi))\sin(\phi)}$

Упростим знаменатель. Для этого преобразуем сумму котангенсов:

$\cot(\phi) + \cot(\psi) = \frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} + \frac{\cos(\psi)}{\sin(\psi)} = \frac{\cos(\phi)\sin(\psi) + \cos(\psi)\sin(\phi)}{\sin(\phi)\sin(\psi)} = \frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\phi)\sin(\psi)}$

Подставим это обратно в выражение для $AD$:

$AD = \frac{a - b}{\frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\phi)\sin(\psi)} \cdot \sin(\phi)} = \frac{a - b}{\frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\psi)}} = \frac{(a - b)\sin(\psi)}{\sin(\phi + \psi)}$

Ответ: $AD = \frac{(a - b)\sin(\psi)}{\sin(\phi + \psi)}$

BC

Аналогично, используем формулу $BC = \frac{h}{\sin(\psi)}$ и подставляем в нее выражение для $h$:

$BC = \frac{a - b}{(\cot(\phi) + \cot(\psi))\sin(\psi)}$

Используем ранее найденное выражение для суммы котангенсов:

$BC = \frac{a - b}{\frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\phi)\sin(\psi)} \cdot \sin(\psi)} = \frac{a - b}{\frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\phi)}} = \frac{(a - b)\sin(\phi)}{\sin(\phi + \psi)}$

Ответ: $BC = \frac{(a - b)\sin(\phi)}{\sin(\phi + \psi)}$