Номер 17, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Высота архитектурного сооружения “Байтерек” — самой главной и узнаваемой достопримечательности столицы Казахстана — 97 м. (рис. 15.10). Вычислите длины $BC$, $AC$, если $BC = AB$, $AO = OC$, $\angle BOC = \angle BOA = 90^\circ$, $\angle BCO = 30^\circ$, $\angle AOC = 60^\circ$.

Рис. 15.10

Вычисление длины BC
Согласно условию, высота сооружения $BO = 97$ м. Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. По условию, $\angle BOC = 90^\circ$, следовательно, этот треугольник является прямоугольным. В нем известны катет $BO$ (противолежащий углу $\angle BCO$) и угол $\angle BCO = 30^\circ$. Длина $BC$ является гипотенузой этого треугольника.
Для нахождения гипотенузы воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle BCO) = \frac{BO}{BC}$
Подставим известные значения:
$\sin(30^\circ) = \frac{97}{BC}$
Зная, что значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{97}{BC}$
Выразим из него $BC$:
$BC = 97 \times 2 = 194$ м.
Ответ: $BC = 194$ м.

Вычисление длины AC
Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. По условию, $AO = OC$ и $\angle AOC = 60^\circ$.
Поскольку две стороны треугольника равны ($AO = OC$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$.
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому:
$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$
$2 \times \angle OCA + 60^\circ = 180^\circ$
$2 \times \angle OCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
$\angle OCA = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
Так как все углы треугольника $\triangle AOC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AC = AO = OC$.
Чтобы найти длину $AC$, достаточно найти длину стороны $OC$. Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle BOC$. Мы можем найти катет $OC$ (прилежащий к углу $\angle BCO$), используя определение тангенса:
$\tan(\angle BCO) = \frac{BO}{OC}$
$\tan(30^\circ) = \frac{97}{OC}$
Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (или $\frac{\sqrt{3}}{3}$), получаем:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{97}{OC}$
Отсюда находим $OC$:
$OC = 97\sqrt{3}$ м.
Поскольку $AC = OC$, то $AC = 97\sqrt{3}$ м.
Ответ: $AC = 97\sqrt{3}$ м.