Номер 2, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Не вычисляя углы треугольника, укажите его вид (относительно углов), если стороны треугольника равны:

а) 7, 8, 12;

б) 30, 40, 50;

в) 13, 14, 15.

Для определения вида треугольника по его сторонам (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) используется следствие из теоремы косинусов. Пусть $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, где $c$ — наибольшая сторона. Вид треугольника определяется сравнением квадрата наибольшей стороны ($c^2$) с суммой квадратов двух других сторон ($a^2 + b^2$).

• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник является тупоугольным (угол, лежащий против стороны $c$, — тупой).

• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник является прямоугольным (угол, лежащий против стороны $c$, — прямой). Это утверждение известно как теорема, обратная теореме Пифагора.

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник является остроугольным (все углы острые).

Применим это правило к каждому из заданных треугольников.

а) Стороны треугольника равны 7, 8, 12.

Наибольшая сторона $c = 12$. Две другие стороны $a = 7$ и $b = 8$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 12^2 = 144$.

Вычислим сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.

Сравним полученные значения: $144 > 113$.

Так как $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.

б) Стороны треугольника равны 30, 40, 50.

Наибольшая сторона $c = 50$. Две другие стороны $a = 30$ и $b = 40$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 50^2 = 2500$.

Вычислим сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$.

Сравним полученные значения: $2500 = 2500$.

Так как $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.

в) Стороны треугольника равны 13, 14, 15.

Наибольшая сторона $c = 15$. Две другие стороны $a = 13$ и $b = 14$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 15^2 = 225$.

Вычислим сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$.

Сравним полученные значения: $225 < 365$.

Так как $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.