Номер 4, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в $30^\circ$, если прилежащие к нему стороны равны 2 и $\sqrt{3}$.

4. Для нахождения стороны треугольника, лежащей против известного угла, при известных двух других сторонах, используется теорема косинусов. Она формулируется следующим образом: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Пусть стороны треугольника, прилежащие к углу в $30^\circ$, будут $a$ и $b$, а искомая сторона, лежащая против этого угла, — $c$.

По условию задачи нам дано:

$a = 2$
$b = \sqrt{3}$
Угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ равен $30^\circ$.

Формула по теореме косинусов для нахождения стороны $c$ выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим данные значения в формулу:

$c^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Значение косинуса $30^\circ$ является табличным и равно $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$c^2 = 4 + 3 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$c^2 = 7 - 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 7 - \frac{4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2}$

$c^2 = 7 - \frac{4 \cdot 3}{2}$

$c^2 = 7 - \frac{12}{2}$

$c^2 = 7 - 6$

$c^2 = 1$

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение корня.

$c = \sqrt{1} = 1$

Ответ: 1