Номер 10, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Теорема косинусов. Глава 3. Решение треугольников - номер 10, страница 99.

Условие.

10. Даны три стороны треугольника $a = 2, b = 3, c = 4$. Найдите косинусы его углов $A, B, C$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения косинусов углов треугольника по трем известным сторонам воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими углами $A, B, C$ формулы теоремы косинусов выглядят следующим образом:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

Из этих формул выразим косинусы углов $A$, $B$ и $C$:

$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

По условию задачи даны длины сторон треугольника: $a = 2, b = 3, c = 4$.

A

Найдем косинус угла $A$, противолежащего стороне $a$. Подставим значения сторон в соответствующую формулу:

$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\cos(A) = \frac{7}{8}$.

B

Найдем косинус угла $B$, противолежащего стороне $b$. Подставим значения сторон в соответствующую формулу:

$\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}$

Ответ: $\cos(B) = \frac{11}{16}$.

C

Найдем косинус угла $C$, противолежащего стороне $c$. Подставим значения сторон в соответствующую формулу:

$\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $\cos(C) = -\frac{1}{4}$.