Номер 13, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Диагонали параллелограмма равны 6 см и 8 см. Угол между ними равен 60°. Найдите стороны этого параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, диагонали которого $d_1 = 8$ см и $d_2 = 6$ см. Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Таким образом, половины диагоналей равны:

$ \frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4 $ см

$ \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 $ см

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Стороны параллелограмма являются основаниями этих треугольников, а две другие стороны каждого треугольника — это половины диагоналей. Угол между диагоналями дан как $60^\circ$. Это острый угол между ними. Смежный с ним тупой угол будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Для нахождения сторон параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Пусть $a$ и $b$ — стороны параллелограмма.

1. Найдем первую сторону параллелограмма ($a$)

Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной $a$. Угол между половинами диагоналей в этом треугольнике равен $60^\circ$. По теореме косинусов:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(60^\circ)$

Подставим значения:

$a^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получим:

$a^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 25 - 12$

$a^2 = 13$

$a = \sqrt{13}$ см.

2. Найдем вторую сторону параллелограмма ($b$)

Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной $b$. Угол между половинами диагоналей в этом треугольнике равен $120^\circ$. По теореме косинусов:

$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

Подставим значения:

$b^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим:

$b^2 = 16 + 9 - 24 \cdot (-\frac{1}{2})$

$b^2 = 25 + 12$

$b^2 = 37$

$b = \sqrt{37}$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{37}$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{37}$ см.