Номер 20, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В треугольнике $ABC$ $AC = 12$, $BC = 15$, $AB = 18$. Найдите биссектрису $CD$.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AC = 12$, $BC = 15$ и $AB = 18$ проведена биссектриса $CD$. Для нахождения ее длины необходимо выполнить два шага.

1. Нахождение длин отрезков, на которые биссектриса делит сторону AB.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$. Таким образом, выполняется соотношение:$ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} $

Подставим известные значения длин сторон $AC$ и $BC$:$ \frac{AD}{DB} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $

Из этой пропорции можно выразить $AD$ через $DB$: $AD = \frac{4}{5} DB$.Мы также знаем, что сумма длин отрезков $AD$ и $DB$ равна длине всей стороны $AB$:$ AD + DB = AB = 18 $

Подставим выражение для $AD$ в это равенство:$ \frac{4}{5} DB + DB = 18 $$ \frac{9}{5} DB = 18 $Решим уравнение относительно $DB$:$ DB = 18 \cdot \frac{5}{9} = 2 \cdot 5 = 10 $

Теперь найдем длину отрезка $AD$:$ AD = 18 - DB = 18 - 10 = 8 $Итак, биссектриса делит сторону $AB$ на отрезки $AD=8$ и $DB=10$.

2. Вычисление длины биссектрисы CD.

Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле, связывающей ее с длинами сторон треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону:$ CD^2 = AC \cdot BC - AD \cdot DB $

Подставим в формулу известные и вычисленные значения:$ CD^2 = 12 \cdot 15 - 8 \cdot 10 $$ CD^2 = 180 - 80 $$ CD^2 = 100 $$ CD = \sqrt{100} = 10 $

Следовательно, длина биссектрисы $CD$ равна 10.

Ответ: 10