Номер 17, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В треугольнике $ABC$ $AC = b$, $BC = a$. Докажите, что для биссектрисы $l_c$, проведенной из вершины $C$, имеет место формула

$l_c = \sqrt{ab - c'c''}$

где $c'$, $c''$ — отрезки, на которые биссектриса делит сторону $AB$ (рис. 16.5).

Рис. 16.5

Для доказательства данной формулы можно использовать несколько подходов. Один из самых наглядных — с применением теоремы косинусов и свойства биссектрисы угла треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AC = b$ и $BC = a$. $CD$ — биссектриса угла $C$, ее длина $l_c$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$ и делит ее на отрезки $AD = c'$ и $DB = c''$. Обозначим угол $\angle C$ как $2\gamma$, тогда, поскольку $CD$ является биссектрисой, углы $\angle ACD$ и $\angle BCD$ равны $\gamma$.

Применим теорему косинусов для треугольников $ACD$ и $BCD$.

В треугольнике $ACD$ для стороны $c'$ имеем:

$c'^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD)$

$c'^2 = b^2 + l_c^2 - 2bl_c \cos\gamma$

Из этого уравнения выразим $\cos\gamma$:

$\cos\gamma = \frac{b^2 + l_c^2 - c'^2}{2bl_c}$ (1)

В треугольнике $BCD$ для стороны $c''$ имеем:

$c''^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$c''^2 = a^2 + l_c^2 - 2al_c \cos\gamma$

Отсюда также выразим $\cos\gamma$:

$\cos\gamma = \frac{a^2 + l_c^2 - c''^2}{2al_c}$ (2)

Поскольку левые части выражений (1) и (2) равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{b^2 + l_c^2 - c'^2}{2bl_c} = \frac{a^2 + l_c^2 - c''^2}{2al_c}$

Умножим обе части на $2l_c$ (так как $l_c > 0$):

$\frac{b^2 + l_c^2 - c'^2}{b} = \frac{a^2 + l_c^2 - c''^2}{a}$

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$a(b^2 + l_c^2 - c'^2) = b(a^2 + l_c^2 - c''^2)$

Раскроем скобки:

$ab^2 + al_c^2 - ac'^2 = a^2b + bl_c^2 - bc''^2$

Сгруппируем члены, содержащие $l_c^2$, в левой части уравнения, а все остальные — в правой:

$al_c^2 - bl_c^2 = a^2b - ab^2 + ac'^2 - bc''^2$

Вынесем общие множители за скобки:

$l_c^2(a - b) = ab(a - b) + ac'^2 - bc''^2$ (3)

Теперь воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB} \implies \frac{b}{a} = \frac{c'}{c''}$

Из этой пропорции следует, что $bc'' = ac'$.

Преобразуем выражение $ac'^2 - bc''^2$, используя полученное равенство:

$ac'^2 - bc''^2 = c'(ac') - c''(bc'') = c'(bc'') - c''(ac') = bc'c'' - ac'c'' = c'c''(b - a) = -c'c''(a - b)$

Подставим это выражение в уравнение (3):

$l_c^2(a - b) = ab(a - b) - c'c''(a - b)$

Для дальнейшего решения рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a \neq b$

В этом случае выражение $(a-b)$ не равно нулю, и мы можем разделить обе части уравнения на $(a-b)$:

$l_c^2 = ab - c'c''$

Случай 2: $a = b$

Если $a=b$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, $CD$ — высота, а $\triangle ADC$ — прямоугольный треугольник ($\angle ADC = 90^\circ$). Также, так как $CD$ — медиана, $c' = c''$.

По теореме Пифагора для $\triangle ADC$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 \implies b^2 = c'^2 + l_c^2$

Отсюда $l_c^2 = b^2 - c'^2$.

Проверим, соответствует ли этому результату доказываемая формула. При $a=b$ и $c'=c''$ она принимает вид:

$l_c^2 = ab - c'c'' = b \cdot b - c' \cdot c' = b^2 - c'^2$

Результаты совпадают. Таким образом, формула верна и для случая равнобедренного треугольника.

Поскольку формула доказана для обоих случаев, она является верной для любого треугольника. Из равенства $l_c^2 = ab - c'c''$, учитывая, что длина отрезка — положительная величина, получаем:

$l_c = \sqrt{ab - c'c''}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $l_c = \sqrt{ab - c'c''}$ для длины биссектрисы треугольника доказана.