Номер 23, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. На рисунке 16.6 изображена окружность и ее центр $O$. Попробуйте выразить угол $ACB$ через угол $AOB$.

Рис. 16.6

Задача состоит в том, чтобы найти зависимость между величиной вписанного угла $ \angle ACB $ и величиной центрального угла $ \angle AOB $, которые опираются на одну и ту же дугу $ AB $.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. В данном случае это $ \angle ACB $. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами. В данном случае это $ \angle AOB $.

Для нахождения соотношения между этими углами докажем известную теорему о вписанном угле.

1. Дополнительное построение.

Проведем из вершины $ C $ луч, проходящий через центр окружности $ O $, и продлим его до пересечения с окружностью в точке $ D $. Таким образом, отрезок $ CD $ является диаметром окружности.

2. Рассмотрение треугольника $ \triangle AOC $.

Стороны $ OA $ и $ OC $ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $ OA = OC = R $.
Это означает, что треугольник $ \triangle AOC $ — равнобедренный с основанием $ AC $.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: $ \angle OAC = \angle OCA $.
Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $, поэтому для $ \triangle AOC $ имеем: $ \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ $.
Заменив $ \angle OAC $ на равный ему $ \angle OCA $, получим: $ 2 \cdot \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ $.

Углы $ \angle AOC $ и $ \angle AOD $ являются смежными, так как они лежат на прямой $ CD $ (диаметре). Их сумма равна $ 180^\circ $: $ \angle AOC + \angle AOD = 180^\circ $.
Из двух последних равенств следует, что $ 2 \cdot \angle OCA + \angle AOC = \angle AOC + \angle AOD $.
Вычитая $ \angle AOC $ из обеих частей, получаем: $ 2 \cdot \angle OCA = \angle AOD $, или $ \angle OCA = \frac{1}{2} \angle AOD $.

3. Рассмотрение треугольника $ \triangle BOC $.

Аналогично, стороны $ OB $ и $ OC $ являются радиусами ($ OB = OC = R $), поэтому треугольник $ \triangle BOC $ также является равнобедренным с основанием $ BC $.
Следовательно, углы при основании равны: $ \angle OBC = \angle OCB $.
Проводя те же рассуждения, что и для $ \triangle AOC $, приходим к выводу, что $ 2 \cdot \angle OCB = \angle BOD $, или $ \angle OCB = \frac{1}{2} \angle BOD $.

4. Нахождение итогового соотношения.

Из рисунка видно, что угол $ \angle ACB $ складывается из двух углов: $ \angle ACB = \angle OCA + \angle OCB $.
Центральный угол $ \angle AOB $ складывается из углов $ \angle AOD $ и $ \angle BOD $: $ \angle AOB = \angle AOD + \angle BOD $. (Это верно для случая, когда центр $ O $ лежит внутри угла $ \angle ACB $, как на рисунке).

Подставим выражения для $ \angle OCA $ и $ \angle OCB $, полученные ранее, в формулу для $ \angle ACB $:
$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOD + \frac{1}{2} \angle BOD = \frac{1}{2} (\angle AOD + \angle BOD) $.

Поскольку $ \angle AOD + \angle BOD = \angle AOB $, мы можем выполнить замену и получить окончательное выражение:
$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $.

Таким образом, мы выразили угол $ \angle ACB $ через угол $ \angle AOB $. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Ответ: $ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $.