Номер 4, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Вписанный угол на $20^\circ$ меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите каждый из этих углов.

Обозначим величину вписанного угла как $ \alpha $, а величину центрального угла как $ \beta $.

Согласно свойству углов в окружности, вписанный угол, опирающийся на определенную дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же самую дугу. Математически это можно записать так:

$ \alpha = \frac{1}{2}\beta $ или, что то же самое, $ \beta = 2\alpha $

По условию задачи, вписанный угол на $20^\circ$ меньше центрального угла. Это дает нам второе уравнение:

$ \alpha = \beta - 20^\circ $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \beta = 2\alpha \\ \alpha = \beta - 20^\circ \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $ \beta $ из первого уравнения во второе:

$ \alpha = (2\alpha) - 20^\circ $

Решим полученное уравнение относительно $ \alpha $:

$ 20^\circ = 2\alpha - \alpha $

$ \alpha = 20^\circ $

Таким образом, величина вписанного угла равна $20^\circ$.

Теперь найдем величину центрального угла, используя первое уравнение:

$ \beta = 2\alpha = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ $

Итак, центральный угол равен $40^\circ$.

Проверим, выполняется ли условие задачи: центральный угол ($40^\circ$) больше вписанного угла ($20^\circ$) на $20^\circ$. $40^\circ - 20^\circ = 20^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: вписанный угол равен 20°, центральный угол равен 40°.