Страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно рассмотрите случай, когда угол $ACB$ тупой.

Рассмотрение случая, когда угол ACB тупой

Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ угол $C$ — тупой. Это означает, что $\angle ACB > 90^\circ$. Мы хотим доказать теорему, которая связывает квадрат стороны, лежащей напротив тупого угла, с двумя другими сторонами. Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора.

Обозначим длины сторон треугольника следующим образом: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Проведём из вершины $A$ высоту $AD$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Поскольку угол $C$ является тупым, основание высоты (точка $D$) будет находиться на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. В результате этого построения образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$.

1. Рассмотрим больший прямоугольный треугольник $\triangle ADB$, в котором $\angle D = 90^\circ$. Применим к нему теорему Пифагора:

$AB^2 = AD^2 + DB^2$

Длина отрезка $DB$ представляет собой сумму длин отрезков $BC$ и $CD$. Таким образом, $DB = BC + CD = a + CD$. Подставим это выражение в уравнение Пифагора:

$c^2 = AD^2 + (a + CD)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$c^2 = AD^2 + a^2 + 2a \cdot CD + CD^2$

2. Теперь рассмотрим меньший прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором также $\angle D = 90^\circ$. Применим к нему теорему Пифагора:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Или в наших обозначениях:

$b^2 = AD^2 + CD^2$

3. В выражении для $c^2$, полученном в пункте 1, мы можем сгруппировать члены $AD^2$ и $CD^2$ и заменить их сумму на $b^2$ из пункта 2:

$c^2 = (AD^2 + CD^2) + a^2 + 2a \cdot CD$

$c^2 = b^2 + a^2 + 2a \cdot CD$

Таким образом, мы доказали, что квадрат стороны, лежащей напротив тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой стороны на прямую, содержащую первую сторону. Здесь $CD$ является проекцией стороны $AC$ на прямую $BC$.

Это соотношение также можно выразить через косинус угла $C$. Угол $\angle ACD$ является смежным с углом $\angle ACB$, поэтому $\angle ACD = 180^\circ - \angle C$. Из прямоугольного треугольника $\triangle ADC$ находим:

$CD = AC \cdot \cos(\angle ACD) = b \cdot \cos(180^\circ - \angle C) = -b \cos(C)$

Подставим это выражение для $CD$ в доказанную формулу:

$c^2 = a^2 + b^2 + 2a(-b \cos(C))$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

Мы получили теорему косинусов для случая, когда угол $C$ тупой.

Ответ: В треугольнике с тупым углом $C$ квадрат стороны $c$, противолежащей этому углу, выражается формулой $c^2 = a^2 + b^2 + 2a \cdot p_b$, где $a$ и $b$ — длины двух других сторон, а $p_b$ — проекция стороны $b$ на прямую, содержащую сторону $a$. Эта формула является геометрической записью теоремы косинусов, которая в тригонометрическом виде выглядит как $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.

1. Какой угол называется центральным?

2. Какой угол называется вписанным?

3. Что называется дугой окружности?

4. Как связаны между собой вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу?

5. Чем измеряется угол, вершина которого принадлежит окружности, одна сторона пересекает окружность, а другая касается окружности?

1. Центральным углом называется плоский угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются лучами, выходящими из центра и пересекающими окружность. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Ответ: Угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами.

2. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а обе его стороны являются хордами этой окружности (пересекают окружность).
Ответ: Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают эту окружность.

3. Дугой окружности называется любая из двух частей, на которые окружность делится двумя ее точками. Эти точки называются концами дуги. Дуга измеряется в градусах; градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего ей центрального угла.
Ответ: Часть окружности, расположенная между двумя ее точками.

4. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же самую дугу. Это одна из ключевых теорем планиметрии. Если вписанный угол $ \angle ACB $ и центральный угол $ \angle AOB $ опираются на одну и ту же дугу $AB$, то их величины связаны соотношением: $ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $.
Ответ: Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну и ту же дугу.

5. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами. То есть, если к окружности в точке $A$ проведена касательная $AC$, а $AB$ — хорда, то величина угла $ \angle CAB $ равна половине градусной меры дуги $AB$, не содержащей точку $C$. Формула: $ \angle CAB = \frac{1}{2} \smile AB $.
Ответ: Такой угол измеряется половиной градусной меры дуги, которую отсекает на окружности его сторона-хорда.

1. Какие из углов на рисунке 17.9 являются вписанными?

Рис. 17.9

Вписанным углом в окружность называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность (являются её хордами или секущими).

Проанализируем углы, изображенные на рисунке, чтобы определить, какие из них являются вписанными:

• Угол $\angle{ADC}$: его вершина D лежит на окружности, а стороны DA и DC являются хордами. Следовательно, $\angle{ADC}$ является вписанным углом.
• Угол $\angle{FBC}$: его вершина B лежит на окружности, а стороны BF и BC являются хордами. Следовательно, $\angle{FBC}$ является вписанным углом.
• Углы с вершиной в точке C:
  • Угол $\angle{BCA}$: его вершина C лежит на окружности, а стороны CB и CA являются хордами. Следовательно, $\angle{BCA}$ является вписанным углом.
  • Угол $\angle{ACD}$: его вершина C лежит на окружности, а стороны CA и CD являются хордами. Следовательно, $\angle{ACD}$ является вписанным углом.
  • Угол $\angle{BCD}$: его вершина C лежит на окружности, а стороны CB и CD являются хордами. Следовательно, $\angle{BCD}$ также является вписанным углом.
• Углы с вершиной в точке A:
  • Угол $\angle{CAD}$: его вершина A лежит на окружности, а стороны AC и AD являются хордами. Следовательно, $\angle{CAD}$ является вписанным углом.
  • Угол $\angle{CAE}$: его вершина A лежит на окружности, сторона AC является хордой, а сторона AE является частью секущей AG. Следовательно, $\angle{CAE}$ является вписанным углом.
  • Угол $\angle{DAE}$: его вершина A лежит на окружности, сторона AD является хордой, а сторона AE является частью секущей AG. Следовательно, $\angle{DAE}$ является вписанным углом.

Угол $\angle{EGD}$ (или $\angle{AGC}$) не является вписанным, так как его вершина G находится вне окружности. Также на рисунке не показаны углы с вершинами в точках F и E, так как через эти точки проведено только по одной линии.

Ответ: вписанными углами на рисунке являются $\angle{ADC}$, $\angle{FBC}$, $\angle{BCA}$, $\angle{ACD}$, $\angle{BCD}$, $\angle{CAD}$, $\angle{CAE}$ и $\angle{DAE}$.

2. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности?

3. Некоторый угол на $25^\circ$ больше своего внешнег

Для ответа на этот вопрос используется теорема о вписанном угле.

Теорема о вписанном угле: величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.

Диаметр делит окружность на две равные части — две полуокружности. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, дуга, на которую опирается вписанный угол, стягивающий диаметр, является полуокружностью и её градусная мера равна:
$360^\circ \div 2 = 180^\circ$

Согласно теореме, величина вписанного угла, опирающегося на эту дугу (то есть на диаметр), будет равна половине её градусной меры:
$180^\circ \div 2 = 90^\circ$

Таким образом, любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом.

Ответ: $90^\circ$.

3. Центральный угол на $35^\circ$ больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите каждый из этих углов.

Пусть величина вписанного угла равна $x$, а величина центрального угла, опирающегося на ту же дугу, равна $y$.

По свойству углов окружности, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Это можно записать в виде формулы:

$x = \frac{y}{2}$ или $y = 2x$

Из условия задачи известно, что центральный угол на $35^\circ$ больше вписанного. Запишем это в виде уравнения:

$y = x + 35^\circ$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$2x = x + 35^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x - x = 35^\circ$

$x = 35^\circ$

Итак, мы нашли величину вписанного угла, она составляет $35^\circ$.

Теперь найдем величину центрального угла, подставив значение $x$ в любое из уравнений. Например, в первое:

$y = 2x = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$

Проверим: разница между центральным и вписанным углами составляет $70^\circ - 35^\circ = 35^\circ$, что соответствует условию задачи.

Ответ: вписанный угол равен $35^\circ$, центральный угол равен $70^\circ$.

4. Вписанный угол на $20^\circ$ меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите каждый из этих углов.

Обозначим величину вписанного угла как $ \alpha $, а величину центрального угла как $ \beta $.

Согласно свойству углов в окружности, вписанный угол, опирающийся на определенную дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же самую дугу. Математически это можно записать так:

$ \alpha = \frac{1}{2}\beta $ или, что то же самое, $ \beta = 2\alpha $

По условию задачи, вписанный угол на $20^\circ$ меньше центрального угла. Это дает нам второе уравнение:

$ \alpha = \beta - 20^\circ $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \beta = 2\alpha \\ \alpha = \beta - 20^\circ \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $ \beta $ из первого уравнения во второе:

$ \alpha = (2\alpha) - 20^\circ $

Решим полученное уравнение относительно $ \alpha $:

$ 20^\circ = 2\alpha - \alpha $

$ \alpha = 20^\circ $

Таким образом, величина вписанного угла равна $20^\circ$.

Теперь найдем величину центрального угла, используя первое уравнение:

$ \beta = 2\alpha = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ $

Итак, центральный угол равен $40^\circ$.

Проверим, выполняется ли условие задачи: центральный угол ($40^\circ$) больше вписанного угла ($20^\circ$) на $20^\circ$. $40^\circ - 20^\circ = 20^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: вписанный угол равен 20°, центральный угол равен 40°.

5. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет:

а) $\frac{1}{3}$ окружности;

б) $\frac{1}{4}$ окружности;

в) $\frac{1}{5}$ окружности;

г) $\frac{1}{6}$ окружности.

Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$.

а) Найдем градусную меру дуги, которая составляет $\frac{1}{3}$ окружности.
Градусная мера дуги: $\frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ$.
Вписанный угол равен половине этой дуги: $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) Найдем градусную меру дуги, которая составляет $\frac{1}{4}$ окружности.
Градусная мера дуги: $\frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ$.
Вписанный угол равен половине этой дуги: $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

в) Найдем градусную меру дуги, которая составляет $\frac{1}{5}$ окружности.
Градусная мера дуги: $\frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$.
Вписанный угол равен половине этой дуги: $\frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.

г) Найдем градусную меру дуги, которая составляет $\frac{1}{6}$ окружности.
Градусная мера дуги: $\frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60^\circ$.
Вписанный угол равен половине этой дуги: $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

6. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет:

а) 10% окружности;

б) 20% окружности;

в) 40% окружности;

г) 50% окружности.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанного угла: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Полная окружность составляет $360^\circ$.

Сначала найдем градусную меру дуги, а затем разделим ее на 2, чтобы найти величину вписанного угла.

а) Найдем градусную меру дуги, которая составляет 10% от всей окружности:
$360^\circ \cdot \frac{10}{100} = 360^\circ \cdot 0.1 = 36^\circ$.
Теперь найдем вписанный угол, который опирается на эту дугу:
$\frac{1}{2} \cdot 36^\circ = 18^\circ$.
Ответ: $18^\circ$.

б) Найдем градусную меру дуги, которая составляет 20% от всей окружности:
$360^\circ \cdot \frac{20}{100} = 360^\circ \cdot 0.2 = 72^\circ$.
Теперь найдем вписанный угол, который опирается на эту дугу:
$\frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.

в) Найдем градусную меру дуги, которая составляет 40% от всей окружности:
$360^\circ \cdot \frac{40}{100} = 360^\circ \cdot 0.4 = 144^\circ$.
Теперь найдем вписанный угол, который опирается на эту дугу:
$\frac{1}{2} \cdot 144^\circ = 72^\circ$.
Ответ: $72^\circ$.

г) Найдем градусную меру дуги, которая составляет 50% от всей окружности:
$360^\circ \cdot \frac{50}{100} = 360^\circ \cdot 0.5 = 180^\circ$.
Теперь найдем вписанный угол, который опирается на эту дугу:
$\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

7. В окружности с центром $O$ $AB$ и $CD$ — диаметры. Вписанный угол $\angle ABC$ равен $30^\circ$. Найдите центральный угол $\angle AOD$ (рис. 17.10).

Рис. 17.10

Рассмотрим треугольник BOC. Так как отрезки OB и OC являются радиусами одной окружности с центром в точке O, то они равны: $OB = OC$. Это означает, что треугольник BOC является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол $\angle ABC$, данный в условии, является углом при основании треугольника BOC. Следовательно, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию $\angle ABC = 30^\circ$, значит $\angle OBC = 30^\circ$ и $\angle OCB = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Мы можем найти угол $\angle BOC$, который является центральным углом, а также углом при вершине равнобедренного треугольника BOC:

$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых (диаметров AB и CD). Вертикальные углы всегда равны между собой.

Следовательно, $\angle AOD = \angle BOC = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.