Страница 102 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно рассмотрите случай, когда центр $O$ окружности лежит вне угла $ACB$. Используйте рисунок 17.5.

Рис. 17.5

Докажите самостоятельно.

Самостоятельно рассмотрите случай, когда центр O окружности лежит вне угла ACB. Используйте рисунок 17.5.

Данный случай является одним из трех возможных при доказательстве теоремы о вписанном угле. Теорема утверждает, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

На рисунке 17.5 показан вписанный угол $ACB$, который опирается на дугу $AB$. Центр окружности $O$ находится вне этого угла. Для доказательства используется вспомогательное построение: диаметр $CD$, проходящий через вершину вписанного угла $C$. Этот диаметр позволяет выразить искомый угол $ACB$ через два других угла, для которых доказываемое утверждение уже установлено или доказывается проще (случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром).

Угол $ACB$ можно представить как разность двух других вписанных углов: $\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD$. Для каждого из этих углов ($\angle BCD$ и $\angle ACD$) одна из сторон ($CD$) является диаметром. Их величины равны половинам соответствующих центральных углов ($\angle BOD$ и $\angle AOD$). Используя эти соотношения, можно доказать основное утверждение.

Докажите самостоятельно.

Дано: Окружность с центром $O$ и вписанный угол $ACB$. Центр $O$ лежит вне угла $ACB$.
Доказать: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$.

Доказательство:
1. Проведем луч $CO$ из вершины угла $C$ через центр окружности $O$ до пересечения с окружностью в точке $D$. Отрезок $CD$ является диаметром окружности.
2. Вписанный угол $ACB$ можно представить как разность двух углов: $\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD$.
3. Рассмотрим вписанный угол $BCD$. Он опирается на дугу $BD$. Одна из его сторон, $CD$, является диаметром. По теореме о вписанном угле, одна из сторон которого — диаметр, его величина равна половине соответствующего центрального угла $BOD$. Таким образом, $\angle BCD = \frac{1}{2} \angle BOD$.
4. Аналогично, для вписанного угла $ACD$, который опирается на дугу $AD$, одна из сторон ($CD$) является диаметром. Следовательно, $\angle ACD = \frac{1}{2} \angle AOD$.
5. Подставим выражения из шагов 3 и 4 в равенство из шага 2:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle BOD - \frac{1}{2} \angle AOD$.
6. Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle ACB = \frac{1}{2} (\angle BOD - \angle AOD)$.
7. Из рисунка видно, что центральный угол $AOB$ является разностью центральных углов $BOD$ и $AOD$:
$\angle AOB = \angle BOD - \angle AOD$.
8. Заменяя выражение в скобках из шага 6 на $\angle AOB$, получаем итоговое равенство:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла, величина вписанного угла ($\angle ACB$) равна половине величины соответствующего центрального угла ($\angle AOB$), то есть $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$.