Страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. С помощью теодолита (или эклиметра) и рулетки сделайте необходимые измерения и найдите высоту недоступного предмета (например, дерева) (рис. 15.9).

Рис. 15.9

Рис. 15.10

Для определения высоты недоступного предмета, такого как дерево, показанное на рисунке 15.9, когда прямое измерение расстояния до его основания невозможно (например, из-за рва или другого препятствия), используется тригонометрический метод. Он заключается в измерении углов до вершины объекта с двух точек, расположенных на известном расстоянии друг от друга.

Порядок действий:

1. На одной прямой с основанием объекта (точка L) выбирают две удобные для измерений точки P и Q. Расстояние между этими точками, называемое базисом, должно быть доступно для измерения.

2. С помощью рулетки измеряют длину базиса $d = PQ$.

3. В более удаленной от объекта точке P устанавливают теодолит или эклиметр. Измеряют высоту прибора $h$ над землей.

4. Из точки P наводят прибор на вершину дерева и измеряют угол возвышения $\alpha$ (угол между горизонтальной линией и направлением на вершину).

5. Переносят прибор в точку Q, которая находится ближе к дереву, и устанавливают его на ту же самую высоту $h$.

6. Из точки Q измеряют новый угол возвышения $\beta$. Так как точка Q ближе, угол $\beta$ будет больше угла $\alpha$.

Математический расчет:

Пусть $H$ – искомая высота дерева. Она складывается из высоты прибора $h$ и высоты $H'$, которую мы определим с помощью тригонометрии: $H = H' + h$. Высота $H'$ — это высота дерева над горизонтальной плоскостью, на которой находится объектив прибора.

Пусть $x$ – неизвестное горизонтальное расстояние от ближайшей точки измерения Q до ствола дерева.

Мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника, образованных линиями визирования и высотой $H'$:

1. Для треугольника, образованного при наблюдении из точки Q (на рисунке точка N находится над Q), катетами являются $H'$ и $x$. Соотношение между ними определяется через тангенс угла $\beta$:

$ \tan\beta = \frac{H'}{x} $

Из этого уравнения можно выразить расстояние $x$:

$ x = \frac{H'}{\tan\beta} $ (1)

2. Для треугольника, образованного при наблюдении из точки P, катетами являются $H'$ и $(x+d)$. Соотношение между ними определяется через тангенс угла $\alpha$:

$ \tan\alpha = \frac{H'}{x+d} $ (2)

Теперь подставим выражение для $x$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$ \tan\alpha = \frac{H'}{\frac{H'}{\tan\beta} + d} $

Решим полученное уравнение относительно $H'$:

$ \tan\alpha \cdot (\frac{H'}{\tan\beta} + d) = H' $

$ \frac{H' \cdot \tan\alpha}{\tan\beta} + d \cdot \tan\alpha = H' $

$ d \cdot \tan\alpha = H' - \frac{H' \cdot \tan\alpha}{\tan\beta} $

$ d \cdot \tan\alpha = H' \cdot (1 - \frac{\tan\alpha}{\tan\beta}) $

$ d \cdot \tan\alpha = H' \cdot (\frac{\tan\beta - \tan\alpha}{\tan\beta}) $

Из последнего выражения находим формулу для $H'$:

$ H' = \frac{d \cdot \tan\alpha \cdot \tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha} $

Чтобы найти полную высоту дерева $H$, нужно к полученному значению $H'$ прибавить высоту прибора $h$.

Ответ: Чтобы найти высоту недоступного предмета $H$, необходимо рулеткой измерить расстояние $d$ между двумя точками наблюдения (базис) и высоту прибора $h$, а с помощью теодолита (или эклиметра) измерить углы возвышения $\alpha$ и $\beta$ из этих точек. Искомая высота вычисляется по формуле: $H = \frac{d \cdot \tan\alpha \cdot \tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha} + h$.

17. Высота архитектурного сооружения “Байтерек” — самой главной и узнаваемой достопримечательности столицы Казахстана — 97 м. (рис. 15.10). Вычислите длины $BC$, $AC$, если $BC = AB$, $AO = OC$, $\angle BOC = \angle BOA = 90^\circ$, $\angle BCO = 30^\circ$, $\angle AOC = 60^\circ$.

Рис. 15.10

Вычисление длины BC
Согласно условию, высота сооружения $BO = 97$ м. Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. По условию, $\angle BOC = 90^\circ$, следовательно, этот треугольник является прямоугольным. В нем известны катет $BO$ (противолежащий углу $\angle BCO$) и угол $\angle BCO = 30^\circ$. Длина $BC$ является гипотенузой этого треугольника.
Для нахождения гипотенузы воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle BCO) = \frac{BO}{BC}$
Подставим известные значения:
$\sin(30^\circ) = \frac{97}{BC}$
Зная, что значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{97}{BC}$
Выразим из него $BC$:
$BC = 97 \times 2 = 194$ м.
Ответ: $BC = 194$ м.

Вычисление длины AC
Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. По условию, $AO = OC$ и $\angle AOC = 60^\circ$.
Поскольку две стороны треугольника равны ($AO = OC$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$.
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому:
$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$
$2 \times \angle OCA + 60^\circ = 180^\circ$
$2 \times \angle OCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
$\angle OCA = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
Так как все углы треугольника $\triangle AOC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AC = AO = OC$.
Чтобы найти длину $AC$, достаточно найти длину стороны $OC$. Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle BOC$. Мы можем найти катет $OC$ (прилежащий к углу $\angle BCO$), используя определение тангенса:
$\tan(\angle BCO) = \frac{BO}{OC}$
$\tan(30^\circ) = \frac{97}{OC}$
Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (или $\frac{\sqrt{3}}{3}$), получаем:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{97}{OC}$
Отсюда находим $OC$:
$OC = 97\sqrt{3}$ м.
Поскольку $AC = OC$, то $AC = 97\sqrt{3}$ м.
Ответ: $AC = 97\sqrt{3}$ м.

18. Повторите понятие скалярного произведения векторов и его свойства.

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярным произведением (обозначается как $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ или $ (\vec{a}, \vec{b}) $) двух ненулевых векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла $ \alpha $ между ними.
Геометрическое определение: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $, где $ \alpha $ — угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

Алгебраическое определение (в координатах): Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной (ортонормированной) системе координат, то скалярное произведение равно сумме произведений их соответствующих координат.
- На плоскости: для векторов $ \vec{a} = \{a_x; a_y\} $ и $ \vec{b} = \{b_x; b_y\} $ их скалярное произведение равно $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $.
- В пространстве: для векторов $ \vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\} $ и $ \vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\} $ их скалярное произведение равно $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $.

Геометрический смысл знака скалярного произведения:
- Если угол $ \alpha $ между векторами острый ($ 0^\circ \le \alpha < 90^\circ $), то $ \cos(\alpha) > 0 $, и скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 $.
- Если угол $ \alpha $ тупой ($ 90^\circ < \alpha \le 180^\circ $), то $ \cos(\alpha) < 0 $, и скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 $.
- Если угол $ \alpha $ прямой ($ \alpha = 90^\circ $), то $ \cos(\alpha) = 0 $, и скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $. Это является ключевым условием перпендикулярности (ортогональности) двух ненулевых векторов.

Скалярное произведение вектора на самого себя называется скалярным квадратом вектора и равно квадрату его длины: $ \vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 $.
Ответ: Скалярное произведение векторов — это число, которое можно найти либо как произведение длин векторов на косинус угла между ними ($|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$), либо как сумму произведений соответствующих координат векторов ($a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$).

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов $ \vec{a} $, $ \vec{b} $, $ \vec{c} $ и любого действительного числа $ k $ справедливы следующие свойства:
1. Переместительное (коммутативное) свойство: От перестановки векторов-сомножителей скалярное произведение не меняется.
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $

2. Распределительное (дистрибутивное) свойство относительно сложения векторов: Скалярное произведение суммы векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений каждого из слагаемых на этот вектор.
$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} $

3. Сочетательное (ассоциативное) свойство относительно умножения на скаляр (число): Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.
$ (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) $

4. Свойство скалярного квадрата: Скалярный квадрат вектора всегда неотрицателен. Он равен квадрату длины (модуля) этого вектора.
$ \vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ge 0 $. Причем $ \vec{a}^2 = 0 $ тогда и только тогда, когда $ \vec{a} $ — нулевой вектор ($ \vec{a} = \vec{0} $).

5. Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов: Два ненулевых вектора являются ортогональными (взаимно перпендикулярными) в том и только в том случае, если их скалярное произведение равно нулю.
$ \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $ (для $ \vec{a} \ne \vec{0}, \vec{b} \ne \vec{0} $).
Ответ: Основные свойства скалярного произведения: коммутативность ($ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $), дистрибутивность ($ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} $), ассоциативность с числовым множителем ($ (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) $), неотрицательность скалярного квадрата ($ \vec{a}^2 \ge 0 $) и равенство нулю для ортогональных векторов.

19. В треугольнике $ABC$ $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$, $AH$ — высота (рис. 15.11). Выразите через $a$, $b$ и угол $C$ отрезки $AH$, $CH$, $BH$. Используя эти выражения, найдите выражение $c^2$ через $a$, $b$ и косинус угла $C$.

В заданном треугольнике $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$, проведена высота $AH$. Это означает, что $AH$ перпендикулярна $BC$, и, следовательно, треугольники $AHC$ и $AHB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

Выражение отрезка AH

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нём $AC = b$ — гипотенуза, а $AH$ — катет, противолежащий углу $C$. По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin C = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} = \frac{AH}{b}$

Из этого соотношения выражаем $AH$:

$AH = b \cdot \sin C$

Ответ: $AH = b \sin C$.

Выражение отрезка CH

В том же прямоугольном треугольнике $AHC$, отрезок $CH$ — это катет, прилежащий к углу $C$. По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos C = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{AC} = \frac{CH}{b}$

Отсюда выражаем $CH$:

$CH = b \cdot \cos C$

Ответ: $CH = b \cos C$.

Выражение отрезка BH

Точка $H$ лежит на стороне $BC$. Длина отрезка $BC$ равна $a$. Исходя из рисунка (где угол $C$ острый), длина отрезка $BC$ складывается из длин отрезков $CH$ и $BH$: $BC = CH + BH$.

$a = CH + BH$

Подставляем ранее найденное выражение для $CH$ и выражаем $BH$:

$BH = a - CH = a - b \cos C$

Ответ: $BH = a - b \cos C$.

Нахождение выражения для c²

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, $AHB$. В нём $AB = c$ — гипотенуза, а $AH$ и $BH$ — катеты. Применим теорему Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$c^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим в это уравнение выражения для $AH$ и $BH$, которые мы нашли ранее:

$c^2 = (b \sin C)^2 + (a - b \cos C)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$c^2 = b^2 \sin^2 C + (a^2 - 2ab \cos C + b^2 \cos^2 C)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $b^2$:

$c^2 = a^2 + b^2 \sin^2 C + b^2 \cos^2 C - 2ab \cos C$

Вынесем $b^2$ за скобки:

$c^2 = a^2 + b^2 (\sin^2 C + \cos^2 C) - 2ab \cos C$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$:

$c^2 = a^2 + b^2 \cdot 1 - 2ab \cos C$

Таким образом, мы получаем итоговое выражение, известное как теорема косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Ответ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.