Страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теорему синусов.

2. Сформулируйте теорему о биссектрисе треугольника.

3. Как выражаются стороны треугольника через известную сторону и его углы?

4. Как выражается синус угла треугольника через две известные стороны и его угол?

5. Какую практическую задачу позволяет решить теорема синусов?

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около треугольника окружности.
Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, и радиусом описанной окружности $R$, теорема синусов записывается в виде формулы: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$ Ответ:

Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.
Например, если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$, то она разделит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $CD$ так, что будет выполняться следующее соотношение: $$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $$ Ответ:

Если известна одна сторона треугольника (например, сторона $a$) и все его углы ($\alpha, \beta, \gamma$), то две другие стороны ($b$ и $c$) можно выразить с помощью теоремы синусов.
Из соотношения $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ получаем: $$ b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} $$ $$ c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} $$ Стоит отметить, что для нахождения всех углов достаточно знать два из них, так как сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$ ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$). Ответ:

Синус неизвестного угла треугольника можно выразить с помощью теоремы синусов, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон.
Пусть в треугольнике известны стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$. Тогда синус угла $\beta$, противолежащего стороне $b$, можно найти из пропорции: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} $$ Отсюда выражаем $\sin \beta$: $$ \sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a} $$ Ответ:

Теорема синусов позволяет решать широкий круг практических задач, связанных с нахождением неизвестных расстояний и углов, особенно в тех случаях, когда прямое измерение невозможно. Этот метод называется триангуляцией.
Основные типы задач:
1. Нахождение неизвестных сторон треугольника, если известна одна сторона и два угла.
2. Нахождение неизвестного угла, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них.

Пример практического применения: определение расстояния до недоступного объекта (например, до корабля в море или до точки на другом берегу реки). Для этого на берегу выбирают отрезок (базис) известной длины $c$. Затем с концов этого базиса измеряют углы ($\alpha$ и $\beta$), под которыми виден недоступный объект. Зная сторону $c$ и два прилежащих к ней угла, можно найти третий угол ($\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$) и, используя теорему синусов, вычислить расстояния $a$ и $b$ от концов базиса до объекта: $$ a = \frac{c \cdot \sin \alpha}{\sin \gamma} $$ Этот метод широко используется в геодезии, астрономии (для определения расстояний до небесных тел), навигации и картографии. Ответ:

1. В треугольнике $ABC$ $AB=6$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. Найдите сторону $BC$.

Для нахождения стороны $BC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны.

Формула теоремы синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

В нашем случае, $a = BC$, $c = AB$, $\angle A$ и $\angle C$ — это углы, противолежащие этим сторонам соответственно.

Согласно условию задачи, мы имеем:

$AB = 6$

$\angle A = 45^\circ$

$\angle C = 60^\circ$

Запишем соотношение для известных нам сторон и углов по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C}$

Подставим в это уравнение известные нам значения:

$\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$

Теперь выразим искомую сторону $BC$:

$BC = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$BC = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим выражение, сократив $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:

$BC = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$BC = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3}$

Сократим полученную дробь:

$BC = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$.

2. В треугольнике $ABC$ $BC = 5$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 105^\circ$. Найдите сторону $AB$.

В данной задаче нам известен треугольник $ABC$ со стороной $BC=5$ и двумя углами $\angle A = 30^\circ$ и $\angle B = 105^\circ$. Нам необходимо найти длину стороны $AB$.

Первым шагом найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$.

Теперь, когда нам известны все три угла и одна сторона ($BC$), противолежащая углу $A$, мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны $AB$, которая противолежит углу $C$. Теорема синусов утверждает, что отношения длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Выразим из этой формулы искомую сторону $AB$:

$AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)}$

Подставим известные значения в формулу. Нам понадобятся значения синусов для углов $30^\circ$ и $45^\circ$:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$AB = \frac{5 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$

Чтобы разделить на дробь $\frac{1}{2}$, мы можем умножить на обратную ей дробь, то есть на 2:

$AB = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 5\sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $5\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$

3. В треугольнике ABC даны две стороны $BC = 3$, $AC = 3\sqrt{2}$ и $\angle A$, равный $45^\circ$. Найдите угол $B$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника ABC это записывается так:$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

В условии задачи нам даны следующие значения:

• Сторона $BC = 3$
• Сторона $AC = 3\sqrt{2}$
• Угол $\angle A = 45^\circ$

Возьмем часть теоремы синусов, которая связывает известные нам величины:$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} $

Подставим в это уравнение известные нам значения сторон и угла:$ \frac{3}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(\angle B)} $

Теперь выразим из этого уравнения $\sin(\angle B)$:$ \sin(\angle B) = \frac{AC \cdot \sin(\angle A)}{BC} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)}{3} $

Мы знаем табличное значение синуса угла 45 градусов: $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставим его в нашу формулу:$ \sin(\angle B) = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{3} $

Сократим тройки в числителе и знаменателе и выполним умножение:$ \sin(\angle B) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1 $

Мы получили, что $\sin(\angle B) = 1$. В треугольнике угол может иметь значение от 0° до 180°. Единственный угол в этом диапазоне, синус которого равен единице, это 90°. Следовательно, $\angle B = 90^\circ$.

Ответ: $\angle B = 90^\circ$.

4. В остроугольном треугольнике $ABC$ даны две стороны $BC = 1$, $AC = \sqrt{2}$ и $\angle A$, равный $30^\circ$. Найдите угол $\angle B$.

Для нахождения угла B в треугольнике ABC воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны. Формула теоремы синусов для треугольника ABC выглядит следующим образом:
$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$
В нашем случае известны сторона BC, противолежащая углу A, и сторона AC, противолежащая углу B. Подставим данные из условия задачи: $BC = 1$, $AC = \sqrt{2}$ и $\angle A = 30^\circ$.
$\frac{1}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(\angle B)}$
Теперь выразим из этого уравнения $\sin(\angle B)$:
$\sin(\angle B) = \sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)$
Мы знаем, что значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в нашу формулу:
$\sin(\angle B) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Уравнение $\sin(\angle B) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для угла в треугольнике (от 0° до 180°) имеет два возможных решения:
1. $\angle B = 45^\circ$
2. $\angle B = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$
Согласно условию, треугольник ABC является остроугольным. Это означает, что все его углы должны быть меньше 90°. Поэтому вариант $\angle B = 135^\circ$ нам не подходит, так как это тупой угол. Единственным возможным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $\angle B = 45^\circ$.
Ответ: 45°.

5. Найдите отношения сторон $AC : BC$ и $AB : BC$ в треугольнике $ABC$, в котором:

a) $ \angle A = 45^{\circ}, \angle B = 30^{\circ} $;

б) $ \angle A = 120^{\circ}, \angle B = 30^{\circ} $.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что для произвольного треугольника отношение длин сторон к синусам противолежащих углов постоянно. Для треугольника $ABC$ со сторонами $AC$, $BC$, $AB$ и противолежащими углами $B$, $A$, $C$ соответственно, теорема записывается так:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

Также нам понадобится тот факт, что сумма углов в любом треугольнике равна $180°$.

а) Дано: $∠A = 45°$, $∠B = 30°$.

1. Найдем третий угол треугольника, угол $C$:

$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 30° = 105°$.

2. Найдем отношение сторон $AC : BC$. Из теоремы синусов имеем:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

Выразим отношение $\frac{AC}{BC}$:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 30°}{\sin 45°}$

Подставим известные значения синусов $\sin 30° = \frac{1}{2}$ и $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{AC}{BC} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Таким образом, отношение $AC : BC = 1 : \sqrt{2}$.

3. Найдем отношение сторон $AB : BC$. Из теоремы синусов имеем:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

Выразим отношение $\frac{AB}{BC}$:

$\frac{AB}{BC} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin 105°}{\sin 45°}$

Для вычисления $\sin 105°$ используем формулу синуса суммы углов: $\sin(60°+45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°$.

$\sin 105° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Подставим значения в отношение:

$\frac{AB}{BC} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4}{\sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Таким образом, отношение $AB : BC = (\sqrt{3} + 1) : 2$.

Ответ: $AC : BC = 1 : \sqrt{2}$; $AB : BC = (\sqrt{3} + 1) : 2$.

б) Дано: $∠A = 120°$, $∠B = 30°$.

1. Найдем третий угол треугольника, угол $C$:

$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 120° - 30° = 30°$.

Поскольку $∠B = ∠C = 30°$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, а это значит, что боковые стороны $AC$ и $AB$ равны ($AC = AB$).

2. Найдем отношение сторон $AC : BC$. По теореме синусов:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 30°}{\sin 120°}$

Подставим известные значения синусов $\sin 30° = \frac{1}{2}$ и $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{AC}{BC} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Таким образом, отношение $AC : BC = 1 : \sqrt{3}$.

3. Найдем отношение сторон $AB : BC$. Поскольку $AC = AB$, отношение $AB : BC$ будет таким же, как и $AC : BC$.

$\frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Таким образом, отношение $AB : BC = 1 : \sqrt{3}$.

Ответ: $AC : BC = 1 : \sqrt{3}$; $AB : BC = 1 : \sqrt{3}$.

6. В треугольнике $ABC$ даны две стороны $BC = 2$, $AC = 2\sqrt{2}$ и $\angle A$, равный $30^\circ$. Найдите угол $B$.

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны.

Формула теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем случае, сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, а сторона $AC$ — напротив угла $B$. Нам даны следующие значения:

$BC = 2$

$AC = 2\sqrt{2}$

$\angle A = 30^\circ$

Составим пропорцию на основе теоремы синусов:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $

Подставим известные значения в это уравнение:

$ \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B} $

Теперь выразим $\sin B$ из этого уравнения:

$ \sin B = \frac{AC \cdot \sin 30^\circ}{BC} $

Значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим его в формулу:

$ \sin B = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{2} $

Упростим выражение:

$ \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Уравнение $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ (поскольку угол в треугольнике не может быть больше $180^\circ$) имеет два решения:

1. $B_1 = 45^\circ$

2. $B_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Необходимо проверить, возможны ли оба варианта. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$.

Проверка для $B_1 = 45^\circ$

Сумма углов $A$ и $B_1$ составит: $30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$.

Поскольку $75^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует. Угол $C$ будет равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Этот вариант является решением.

Проверка для $B_2 = 135^\circ$

Сумма углов $A$ и $B_2$ составит: $30^\circ + 135^\circ = 165^\circ$.

Поскольку $165^\circ < 180^\circ$, такой треугольник также существует. Угол $C$ будет равен $180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$. Этот вариант также является решением.

Таким образом, задача имеет два возможных ответа для угла $B$.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.

7. Диагональ параллелограмма равна $c$ и образует со сторонами этого параллелограмма углы $\Phi$ и $\Psi$. Выразите стороны параллелограмма через $c$, $\Phi$ и $\Psi$.

Пусть дан параллелограмм, стороны которого равны $a$ и $b$, а диагональ равна $c$. По условию, эта диагональ образует со сторонами $a$ и $b$ углы $\Phi$ и $\Psi$ соответственно.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Рассмотрим один из них. Стороны этого треугольника — это стороны параллелограмма $a$ и $b$ и его диагональ $c$.

В данном треугольнике нам известна сторона $c$. Угол, противолежащий стороне $b$, равен $\Phi$. Стороны параллелограмма параллельны, поэтому диагональ является секущей. Угол $\Psi$, который диагональ образует со второй стороной параллелограмма ($b$), является накрест лежащим с углом, противолежащим стороне $a$ в нашем треугольнике. Таким образом, угол напротив стороны $a$ равен $\Psi$.

Третий угол треугольника, который лежит напротив стороны (диагонали) $c$, можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Этот угол равен $180^\circ - (\Phi + \Psi)$.

Теперь мы можем применить теорему синусов к этому треугольнику. Теорема гласит, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равно:

$\frac{a}{\sin \Psi} = \frac{b}{\sin \Phi} = \frac{c}{\sin(180^\circ - (\Phi + \Psi))}$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, мы можем упростить знаменатель последней дроби:

$\sin(180^\circ - (\Phi + \Psi)) = \sin(\Phi + \Psi)$

Таким образом, соотношение принимает вид:

$\frac{a}{\sin \Psi} = \frac{b}{\sin \Phi} = \frac{c}{\sin(\Phi + \Psi)}$

Из этого равенства выразим стороны $a$ и $b$:

$a = \frac{c \sin \Psi}{\sin(\Phi + \Psi)}$

$b = \frac{c \sin \Phi}{\sin(\Phi + \Psi)}$

Ответ: Стороны параллелограмма равны $\frac{c \sin \Phi}{\sin(\Phi + \Psi)}$ и $\frac{c \sin \Psi}{\sin(\Phi + \Psi)}$.

8. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$, $BC = 6$, $AC = 10$. Найдите отрезки, на которые биссектриса $CD$ этого треугольника делит его сторону $AB$ (рис. 15.4).

Рис. 15.4

Для решения данной задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Это свойство гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам треугольника.

В треугольнике $ABC$ биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$. Согласно свойству биссектрисы, справедливо следующее соотношение: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} $$

По условию задачи нам известны длины сторон: $AC = 10$, $BC = 6$ и $AB = 8$. Подставим известные значения в пропорцию: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{10}{6} $$

Упростим полученное отношение, сократив дробь на 2: $$ \frac{AD}{DB} = \frac{5}{3} $$

Это означает, что длины отрезков $AD$ и $DB$ соотносятся как 5 к 3. Мы можем выразить их длины через одну переменную. Пусть $AD = 5x$ и $DB = 3x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Точка $D$ лежит на стороне $AB$, следовательно, сумма длин отрезков $AD$ и $DB$ равна длине стороны $AB$: $$ AD + DB = AB $$

Подставим в это уравнение выражения для $AD$ и $DB$ через $x$ и известную длину стороны $AB$: $$ 5x + 3x = 8 $$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$: $$ 8x = 8 $$ $$ x = 1 $$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, мы можем вычислить длины искомых отрезков: $ AD = 5x = 5 \cdot 1 = 5 $ $ DB = 3x = 3 \cdot 1 = 3 $

Таким образом, биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки длиной 5 и 3. Проверим результат: $5 + 3 = 8$, что соответствует длине стороны $AB$.

Ответ: отрезки, на которые биссектриса делит сторону $AB$, равны 5 и 3.

9. В треугольнике $ABC$ $AB = 1$, $AC = BC = 2$. Найдите отрезки, на которые биссектриса $AD$ этого треугольника делит его сторону $BC$ (рис. 15.5).

Рис. 15.5

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ известны длины сторон: $AB = 1$, $AC = 2$ и $BC = 2$. Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$ и делит сторону $BC$ на два отрезка — $BD$ и $CD$.

Для нахождения длин этих отрезков воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Оно гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.

Применительно к нашему треугольнику $ABC$ и биссектрисе $AD$, это свойство можно записать в виде следующей пропорции: $ \frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB} $

Подставим в данное соотношение известные из условия значения длин сторон $AC = 2$ и $AB = 1$: $ \frac{CD}{BD} = \frac{2}{1} = 2 $

Из этого равенства следует, что длина отрезка $CD$ в два раза больше длины отрезка $BD$: $ CD = 2 \cdot BD $

Точка $D$ лежит на стороне $BC$, следовательно, сумма длин отрезков $BD$ и $CD$ равна длине стороны $BC$: $ BD + CD = BC $

Так как по условию $BC = 2$, мы получаем второе уравнение: $ BD + CD = 2 $

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 1. $ CD = 2 \cdot BD $ 2. $ BD + CD = 2 $

Для решения системы подставим выражение для $CD$ из первого уравнения во второе: $ BD + (2 \cdot BD) = 2 $

Решим полученное уравнение относительно $BD$: $ 3 \cdot BD = 2 $
$ BD = \frac{2}{3} $

Теперь, зная длину $BD$, найдем длину $CD$ из первого уравнения: $ CD = 2 \cdot BD = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $

Таким образом, биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD = \frac{2}{3}$ и $CD = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{3}$.