Вопросы, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теорему синусов.

2. Сформулируйте теорему о биссектрисе треугольника.

3. Как выражаются стороны треугольника через известную сторону и его углы?

4. Как выражается синус угла треугольника через две известные стороны и его угол?

5. Какую практическую задачу позволяет решить теорема синусов?

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около треугольника окружности.
Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, и радиусом описанной окружности $R$, теорема синусов записывается в виде формулы: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$ Ответ:

Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.
Например, если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$, то она разделит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $CD$ так, что будет выполняться следующее соотношение: $$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $$ Ответ:

Если известна одна сторона треугольника (например, сторона $a$) и все его углы ($\alpha, \beta, \gamma$), то две другие стороны ($b$ и $c$) можно выразить с помощью теоремы синусов.
Из соотношения $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ получаем: $$ b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} $$ $$ c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} $$ Стоит отметить, что для нахождения всех углов достаточно знать два из них, так как сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$ ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$). Ответ:

Синус неизвестного угла треугольника можно выразить с помощью теоремы синусов, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон.
Пусть в треугольнике известны стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$. Тогда синус угла $\beta$, противолежащего стороне $b$, можно найти из пропорции: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} $$ Отсюда выражаем $\sin \beta$: $$ \sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a} $$ Ответ:

Теорема синусов позволяет решать широкий круг практических задач, связанных с нахождением неизвестных расстояний и углов, особенно в тех случаях, когда прямое измерение невозможно. Этот метод называется триангуляцией.
Основные типы задач:
1. Нахождение неизвестных сторон треугольника, если известна одна сторона и два угла.
2. Нахождение неизвестного угла, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них.

Пример практического применения: определение расстояния до недоступного объекта (например, до корабля в море или до точки на другом берегу реки). Для этого на берегу выбирают отрезок (базис) известной длины $c$. Затем с концов этого базиса измеряют углы ($\alpha$ и $\beta$), под которыми виден недоступный объект. Зная сторону $c$ и два прилежащих к ней угла, можно найти третий угол ($\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$) и, используя теорему синусов, вычислить расстояния $a$ и $b$ от концов базиса до объекта: $$ a = \frac{c \cdot \sin \alpha}{\sin \gamma} $$ Этот метод широко используется в геодезии, астрономии (для определения расстояний до небесных тел), навигации и картографии. Ответ: