Номер 49, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

49. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 14.29). Некоторый предмет $A$ у подножия горы наблюдают сначала с вершины $B$ башни под углом $60^\circ$ к горизонту, а потом с ее основания $C$ под углом $30^\circ$. Найдите высоту $H$ горы.

Обозначим искомую высоту горы (отрезок от подножия до основания башни С) как $H$, а горизонтальное расстояние от наблюдателя в точке А до вертикальной оси горы и башни как $d$.
Из условия задачи и рисунка можно рассмотреть два прямоугольных треугольника с общим катетом $d$.

1. Первый прямоугольный треугольник образован точками A, C и проекцией точки C на горизонталь, проходящую через A. Катетами этого треугольника являются высота горы $H$ и расстояние $d$. Угол подъема (угол при вершине A) равен $30^\circ$. Используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к прилежащему), мы можем записать первое уравнение:
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{d}$

2. Второй прямоугольный треугольник образован точками A, B и проекцией точки B на ту же горизонталь. Его катетами являются расстояние $d$ и общая высота от уровня наблюдателя до вершины башни. Эта высота равна сумме высоты горы $H$ и высоты башни (100 м), то есть $H + 100$. Угол подъема для этого треугольника равен $60^\circ$. Запишем второе уравнение:
$\tan(60^\circ) = \frac{H + 100}{d}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $H$ и $d$. Для ее решения выразим $d$ из каждого уравнения.
Из первого уравнения: $d = \frac{H}{\tan(30^\circ)}$
Из второго уравнения: $d = \frac{H + 100}{\tan(60^\circ)}$

Поскольку левые части обоих выражений равны (обе равны $d$), мы можем приравнять их правые части:
$\frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{H + 100}{\tan(60^\circ)}$

Теперь подставим известные табличные значения тангенсов: $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
$\frac{H}{1/\sqrt{3}} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$

Упростим левую часть уравнения:
$H \cdot \sqrt{3} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
$H \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = H + 100$
$3H = H + 100$

Осталось решить простое линейное уравнение относительно $H$:
$3H - H = 100$
$2H = 100$
$H = \frac{100}{2}$
$H = 50$ м.

Ответ: 50 м.