Номер 46, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

46. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, отрезок $CH$ перпендикулярен гипотенузе $AB$, следовательно, образуются два прямых угла: $\angle CHA = 90^\circ$ и $\angle CHB = 90^\circ$.

Высота $CH$ разделяет исходный треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Нам необходимо доказать, что каждый из этих треугольников подобен исходному треугольнику $ABC$. Доказательство проведем, используя первый признак подобия треугольников (по двум равным углам).

1. Сравним треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$.

В этих треугольниках:
- Угол $\angle A$ является общим.
- Угол $\angle AHC$ треугольника $\triangle ACH$ равен $90^\circ$, и угол $\angle ACB$ треугольника $\triangle ABC$ также равен $90^\circ$.
Поскольку два угла одного треугольника ($\angle A$ и $\angle AHC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle A$ и $\angle ACB$), то треугольники подобны.
Следовательно, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$.

2. Сравним треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$.

В этих треугольниках:
- Угол $\angle B$ является общим.
- Угол $\angle CHB$ треугольника $\triangle CBH$ равен $90^\circ$, и угол $\angle ACB$ треугольника $\triangle ABC$ также равен $90^\circ$.
Поскольку два угла одного треугольника ($\angle B$ и $\angle CHB$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle B$ и $\angle ACB$), то треугольники подобны.
Следовательно, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.

Таким образом, мы доказали, что высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$, основываясь на первом признаке подобия треугольников (по двум углам).