Номер 48, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

48. В треугольник $ABC$ со стороной $AB = c$ и высотой $CD = h$ вписан квадрат так, что две его вершины принадлежат стороне $AB$, а две другие — двум другим сторонам треугольника (рис. 14.28). Найдите сторону квадрата.

Пусть сторона вписанного квадрата $EFGH$ равна $x$. По условию, вершины $E$ и $F$ лежат на стороне $AB$, а вершины $H$ и $G$ лежат на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно. Из этого следует, что сторона квадрата $HG$ параллельна стороне $AB$ треугольника.

Рассмотрим два треугольника: исходный $\triangle ABC$ и треугольник $\triangle HGC$, образованный стороной квадрата $HG$ и отрезками боковых сторон треугольника. Поскольку $HG \parallel AB$, то $\triangle HGC$ подобен $\triangle ABC$ (по трём углам: $\angle C$ — общий, а углы при основаниях $HG$ и $AB$ попарно равны как соответственные при параллельных прямых и секущих).

Для подобных треугольников отношение их оснований равно отношению их высот.

Основание треугольника $\triangle ABC$ — это сторона $AB = c$. Его высота — это $CD = h$.

Основание треугольника $\triangle HGC$ — это сторона квадрата $HG = x$. Его высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $HG$, является частью высоты $CD$. Обозначим точку пересечения $CD$ и $HG$ как $K$. Тогда высота треугольника $\triangle HGC$ — это отрезок $CK$. Длина отрезка $KD$ равна стороне квадрата $x$ (так как это расстояние между параллельными прямыми $HG$ и $AB$). Следовательно, высота $CK = CD - KD = h - x$.

Составим пропорцию из отношения высот и оснований: $$ \frac{\text{Высота } \triangle HGC}{\text{Высота } \triangle ABC} = \frac{\text{Основание } \triangle HGC}{\text{Основание } \triangle ABC} $$ $$ \frac{CK}{CD} = \frac{HG}{AB} $$

Подставим выражения через известные переменные $c$, $h$ и искомую $x$: $$ \frac{h - x}{h} = \frac{x}{c} $$

Решим это уравнение относительно $x$: $$ c(h - x) = hx $$ $$ ch - cx = hx $$ $$ ch = hx + cx $$ $$ ch = x(h + c) $$ $$ x = \frac{ch}{c + h} $$

Ответ: $ \frac{ch}{c + h} $.