Номер 45, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

45. Можно ли треугольник пересечь прямой, непараллельной его стороне, так, чтобы отсечь от него подобный треугольник?

Да, это возможно, если исходный треугольник не является равносторонним.

Рассмотрим треугольник $ABC$ с углами $\alpha, \beta, \gamma$ при вершинах $A, B, C$ соответственно. Прямая может пересечь две стороны треугольника, например, $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$. При этом образуется новый, отсеченный треугольник $DCE$.

Угол $\gamma$ при вершине $C$ является общим для исходного треугольника $ABC$ и отсеченного $DCE$. Чтобы треугольники были подобны, их углы должны быть равны. Рассмотрим два возможных варианта соответствия углов:

1. Треугольник $DCE$ подобен треугольнику $CAB$ ($\triangle DCE \sim \triangle CAB$). Это значит, что углы соответствуют следующим образом: $\angle C = \angle C$, $\angle CDE = \angle A = \alpha$ и $\angle CED = \angle B = \beta$. В этом случае прямая $DE$ параллельна стороне $AB$, так как соответственные углы при секущей $AC$ равны ($\angle CDE = \angle CAB$). Этот случай прямо запрещен условием задачи.

2. Треугольник $DCE$ подобен треугольнику $CBA$ ($\triangle DCE \sim \triangle CBA$). В этом случае углы соответствуют так: $\angle C = \angle C$, $\angle CDE = \angle B = \beta$ и $\angle CED = \angle A = \alpha$.

Такой треугольник $DCE$ можно построить. Для этого достаточно на стороне $AC$ выбрать точку $D$ и провести из нее отрезок $DE$ к стороне $BC$ так, чтобы угол $\angle CDE$ был равен углу $\beta$. Тогда третий угол отсеченного треугольника, $\angle CED$, автоматически станет равен $\alpha$, так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle CED = 180^\circ - \gamma - \beta = \alpha$.

Теперь проверим, будет ли секущая прямая $DE$ параллельна какой-либо из сторон. Она не может быть параллельна сторонам $AC$ и $BC$, так как пересекает их. Она будет параллельна стороне $AB$ только в том случае, если $\angle CDE = \angle A$. Но мы построили ее так, что $\angle CDE = \angle B$. Следовательно, прямая $DE$ будет параллельна $AB$ только при условии, что $\angle A = \angle B$.

Таким образом, если у исходного треугольника углы $\angle A$ и $\angle B$ не равны, то можно провести прямую $DE$, которая отсечет подобный ему треугольник ($\triangle DCE \sim \triangle CBA$) и при этом не будет параллельна стороне $AB$.

Это условие ($\angle A \neq \angle B$) выполняется для любого треугольника, который не является равнобедренным с основанием $AB$. Если треугольник не является равносторонним, у него всегда можно выбрать пару неравных углов. Например, в прямоугольном треугольнике с углами $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ все три угла различны.

Единственный случай, когда такое построение невозможно — это равносторонний треугольник. У него все углы равны $60^\circ$, поэтому любое построение подобного треугольника, отсеченного от вершины, неизбежно приведет к случаю 1, где секущая прямая будет параллельна противолежащей стороне.

Поскольку в задаче спрашивается, возможно ли это в принципе, а мы показали, что это возможно для любого неравностороннего треугольника, то ответ на вопрос положительный.

Ответ: Да, можно.