Номер 51, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

51. Повторите тригонометрические функции углов.

52. Для треугольника $ABC$ попробуйте выразить сторо-

51. Повторите тригонометрические функции углов.

Тригонометрические функции устанавливают соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике, а также обобщаются для произвольных углов с помощью единичной окружности.

Определения в прямоугольном треугольнике:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$, противолежащим катету $a$.
Синус угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin \alpha = \frac{a}{c} $.
Косинус угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos \alpha = \frac{b}{c} $.
Тангенс угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $ \tan \alpha = \frac{a}{b} $.
Котангенс угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $ \cot \alpha = \frac{b}{a} $.

Определения через единичную окружность:
Для угла $\alpha$ любой величины рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом 1 (единичная окружность). Отложим угол $\alpha$ от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Конечная точка на окружности будет иметь координаты $(x, y)$.
Синус угла $\alpha$: $ \sin \alpha = y $.
Косинус угла $\alpha$: $ \cos \alpha = x $.
Тангенс угла $\alpha$: $ \tan \alpha = \frac{y}{x} $ (определен, если $x \neq 0$).
Котангенс угла $\alpha$: $ \cot \alpha = \frac{x}{y} $ (определен, если $y \neq 0$).

Основные тригонометрические тождества:
- Основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
- Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом: $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.
- Следствия из основного тождества: $ 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $, $ 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

Ответ: Выше представлен обзор основных определений и тождеств, связанных с тригонометрическими функциями углов.

52. Для треугольника ABC попробуйте выразить сторону...

Так как вопрос в задании сформулирован не полностью, мы рассмотрим общие способы выражения одной стороны произвольного треугольника через другие его элементы (стороны и углы). Для этого используются две основные теоремы: теорема синусов и теорема косинусов.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны, противолежащие вершинам $A, B, C$, равны $a, b, c$ соответственно (т.е. $a = BC, b = AC, c = AB$).

1. Использование теоремы синусов.
Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
Эта теорема позволяет выразить одну сторону, если известны другая сторона и два угла. Например, чтобы выразить сторону $a$ (BC):
- Через сторону $b$ (AC) и углы $A$ и $B$: из пропорции $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $ следует $ a = b \cdot \frac{\sin A}{\sin B} $.
- Через сторону $c$ (AB) и углы $A$ и $C$: из пропорции $ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} $ следует $ a = c \cdot \frac{\sin A}{\sin C} $.
Аналогично можно выразить любую другую сторону.

2. Использование теоремы косинусов.
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора и гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $
Эта теорема позволяет выразить одну сторону, если известны две другие стороны и угол между ними. Например, чтобы выразить сторону $a$ (BC), зная стороны $b$ (AC), $c$ (AB) и угол $A$:$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cos A} $
Аналогичные формулы можно записать для сторон $b$ и $c$:
- $ b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac \cos B} $
- $ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos C} $

Ответ: Стороны треугольника можно выразить через другие его элементы с помощью теоремы синусов (если известны два угла и одна сторона) или теоремы косинусов (если известны две стороны и угол между ними).