Номер 2, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В треугольнике $ABC$ $BC = 5$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 105^\circ$. Найдите сторону $AB$.

В данной задаче нам известен треугольник $ABC$ со стороной $BC=5$ и двумя углами $\angle A = 30^\circ$ и $\angle B = 105^\circ$. Нам необходимо найти длину стороны $AB$.

Первым шагом найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$.

Теперь, когда нам известны все три угла и одна сторона ($BC$), противолежащая углу $A$, мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны $AB$, которая противолежит углу $C$. Теорема синусов утверждает, что отношения длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Выразим из этой формулы искомую сторону $AB$:

$AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)}$

Подставим известные значения в формулу. Нам понадобятся значения синусов для углов $30^\circ$ и $45^\circ$:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$AB = \frac{5 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$

Чтобы разделить на дробь $\frac{1}{2}$, мы можем умножить на обратную ей дробь, то есть на 2:

$AB = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 5\sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $5\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$