Номер 4, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В остроугольном треугольнике $ABC$ даны две стороны $BC = 1$, $AC = \sqrt{2}$ и $\angle A$, равный $30^\circ$. Найдите угол $\angle B$.

Для нахождения угла B в треугольнике ABC воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны. Формула теоремы синусов для треугольника ABC выглядит следующим образом:
$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$
В нашем случае известны сторона BC, противолежащая углу A, и сторона AC, противолежащая углу B. Подставим данные из условия задачи: $BC = 1$, $AC = \sqrt{2}$ и $\angle A = 30^\circ$.
$\frac{1}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(\angle B)}$
Теперь выразим из этого уравнения $\sin(\angle B)$:
$\sin(\angle B) = \sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)$
Мы знаем, что значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в нашу формулу:
$\sin(\angle B) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Уравнение $\sin(\angle B) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для угла в треугольнике (от 0° до 180°) имеет два возможных решения:
1. $\angle B = 45^\circ$
2. $\angle B = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$
Согласно условию, треугольник ABC является остроугольным. Это означает, что все его углы должны быть меньше 90°. Поэтому вариант $\angle B = 135^\circ$ нам не подходит, так как это тупой угол. Единственным возможным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $\angle B = 45^\circ$.
Ответ: 45°.