Номер 10, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В треугольнике $ABC$ $AB = 2$, $BC = 3$, $AC = 4$. Найдите отрезки, на которые биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ этого треугольника делят его стороны (рис. 15.6).

Рис. 15.6

Для решения этой задачи используется свойство биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам треугольника.

Биссектриса AA₁

Биссектриса $AA_1$ делит сторону $BC$ на отрезки $BA_1$ и $A_1C$. Согласно свойству биссектрисы, отношение этих отрезков равно отношению прилежащих сторон $AB$ и $AC$.

$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные длины сторон $AB = 2$ и $AC = 4$:

$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения получаем, что $A_1C = 2 \cdot BA_1$. Также мы знаем, что сумма длин этих отрезков равна длине стороны $BC$: $BA_1 + A_1C = BC = 3$.

Решим систему уравнений. Подставим выражение для $A_1C$ в уравнение суммы отрезков:

$BA_1 + (2 \cdot BA_1) = 3$

$3 \cdot BA_1 = 3$

$BA_1 = 1$

Теперь найдем длину второго отрезка:

$A_1C = 2 \cdot BA_1 = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: биссектриса $AA_1$ делит сторону $BC$ на отрезки $BA_1 = 1$ и $A_1C = 2$.

Биссектриса BB₁

Биссектриса $BB_1$ делит сторону $AC$ на отрезки $AB_1$ и $B_1C$. По свойству биссектрисы:

$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC}$

Подставим известные длины сторон $AB = 2$ и $BC = 3$:

$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{2}{3}$

Отсюда $3 \cdot AB_1 = 2 \cdot B_1C$. Сумма длин отрезков равна длине стороны $AC$: $AB_1 + B_1C = AC = 4$.

Решим систему. Из второго уравнения выразим $AB_1 = 4 - B_1C$ и подставим в первое:

$3 \cdot (4 - B_1C) = 2 \cdot B_1C$

$12 - 3 \cdot B_1C = 2 \cdot B_1C$

$12 = 5 \cdot B_1C$

$B_1C = \frac{12}{5} = 2,4$

Теперь найдем длину $AB_1$:

$AB_1 = 4 - B_1C = 4 - \frac{12}{5} = \frac{20 - 12}{5} = \frac{8}{5} = 1,6$

Ответ: биссектриса $BB_1$ делит сторону $AC$ на отрезки $AB_1 = \frac{8}{5}$ и $B_1C = \frac{12}{5}$.

Биссектриса CC₁

Биссектриса $CC_1$ делит сторону $AB$ на отрезки $AC_1$ и $C_1B$. По свойству биссектрисы:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{AC}{BC}$

Подставим известные длины сторон $AC = 4$ и $BC = 3$:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{4}{3}$

Отсюда $3 \cdot AC_1 = 4 \cdot C_1B$. Сумма длин отрезков равна длине стороны $AB$: $AC_1 + C_1B = AB = 2$.

Решим систему. Из второго уравнения выразим $AC_1 = 2 - C_1B$ и подставим в первое:

$3 \cdot (2 - C_1B) = 4 \cdot C_1B$

$6 - 3 \cdot C_1B = 4 \cdot C_1B$

$6 = 7 \cdot C_1B$

$C_1B = \frac{6}{7}$

Теперь найдем длину $AC_1$:

$AC_1 = 2 - C_1B = 2 - \frac{6}{7} = \frac{14 - 6}{7} = \frac{8}{7}$

Ответ: биссектриса $CC_1$ делит сторону $AB$ на отрезки $AC_1 = \frac{8}{7}$ и $C_1B = \frac{6}{7}$.