Номер 15, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Из некоторой точки вершина горы видна под углом $30^\circ$. При приближении к горе на 1000 м вершина стала видна под углом $45^\circ$. Найдите приблизительную высоту горы (рис. 15.8). В ответе укажите целое число метров.

Рис. 15.8

Для решения задачи введем обозначения согласно рисунку. Пусть $CD = h$ — это искомая высота горы, а $BD = x$ — расстояние от точки $B$ до перпендикуляра, опущенного из вершины горы. По условию, расстояние $AB = 1000$ м. Таким образом, полное расстояние от начальной точки $A$ до основания горы равно $AD = AB + BD = 1000 + x$.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Он является прямоугольным ($\angle CDB = 90^\circ$). Угол $\angle CBD$ равен $45^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому угол $\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку два угла в треугольнике $\triangle BCD$ равны, он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $CD = BD$. Это дает нам первое соотношение: $h = x$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Он также является прямоугольным ($\angle CDA = 90^\circ$). Угол $\angle CAD$ равен $30^\circ$. По определению тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle CAD) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD}$
Подставим наши обозначения: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{1000 + x}$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $h = x$
2) $\tan(30^\circ) = \frac{h}{1000 + x}$

Подставим значение $x$ из первого уравнения во второе: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{1000 + h}$
Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим это значение в уравнение: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{1000 + h}$
Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим: $1 \cdot (1000 + h) = h \cdot \sqrt{3}$ $1000 + h = h\sqrt{3}$
Сгруппируем все члены с $h$ в правой части уравнения: $1000 = h\sqrt{3} - h$ $1000 = h(\sqrt{3} - 1)$
Выразим $h$: $h = \frac{1000}{\sqrt{3} - 1}$
Для вычисления приближенного значения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$: $h = \frac{1000(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{1000(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{1000(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{1000(\sqrt{3} + 1)}{2} = 500(\sqrt{3} + 1)$
Теперь вычислим числовое значение, приняв $\sqrt{3} \approx 1.732$: $h \approx 500(1.732 + 1) = 500 \cdot 2.732 = 1366$
По условию задачи, ответ необходимо указать в виде целого числа метров.

Ответ: 1366