Номер 18, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Повторите понятие скалярного произведения векторов и его свойства.

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярным произведением (обозначается как $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ или $ (\vec{a}, \vec{b}) $) двух ненулевых векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла $ \alpha $ между ними.
Геометрическое определение: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $, где $ \alpha $ — угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

Алгебраическое определение (в координатах): Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной (ортонормированной) системе координат, то скалярное произведение равно сумме произведений их соответствующих координат.
- На плоскости: для векторов $ \vec{a} = \{a_x; a_y\} $ и $ \vec{b} = \{b_x; b_y\} $ их скалярное произведение равно $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $.
- В пространстве: для векторов $ \vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\} $ и $ \vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\} $ их скалярное произведение равно $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $.

Геометрический смысл знака скалярного произведения:
- Если угол $ \alpha $ между векторами острый ($ 0^\circ \le \alpha < 90^\circ $), то $ \cos(\alpha) > 0 $, и скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 $.
- Если угол $ \alpha $ тупой ($ 90^\circ < \alpha \le 180^\circ $), то $ \cos(\alpha) < 0 $, и скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 $.
- Если угол $ \alpha $ прямой ($ \alpha = 90^\circ $), то $ \cos(\alpha) = 0 $, и скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $. Это является ключевым условием перпендикулярности (ортогональности) двух ненулевых векторов.

Скалярное произведение вектора на самого себя называется скалярным квадратом вектора и равно квадрату его длины: $ \vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 $.
Ответ: Скалярное произведение векторов — это число, которое можно найти либо как произведение длин векторов на косинус угла между ними ($|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$), либо как сумму произведений соответствующих координат векторов ($a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$).

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов $ \vec{a} $, $ \vec{b} $, $ \vec{c} $ и любого действительного числа $ k $ справедливы следующие свойства:
1. Переместительное (коммутативное) свойство: От перестановки векторов-сомножителей скалярное произведение не меняется.
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $

2. Распределительное (дистрибутивное) свойство относительно сложения векторов: Скалярное произведение суммы векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений каждого из слагаемых на этот вектор.
$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} $

3. Сочетательное (ассоциативное) свойство относительно умножения на скаляр (число): Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.
$ (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) $

4. Свойство скалярного квадрата: Скалярный квадрат вектора всегда неотрицателен. Он равен квадрату длины (модуля) этого вектора.
$ \vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ge 0 $. Причем $ \vec{a}^2 = 0 $ тогда и только тогда, когда $ \vec{a} $ — нулевой вектор ($ \vec{a} = \vec{0} $).

5. Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов: Два ненулевых вектора являются ортогональными (взаимно перпендикулярными) в том и только в том случае, если их скалярное произведение равно нулю.
$ \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $ (для $ \vec{a} \ne \vec{0}, \vec{b} \ne \vec{0} $).
Ответ: Основные свойства скалярного произведения: коммутативность ($ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $), дистрибутивность ($ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} $), ассоциативность с числовым множителем ($ (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) $), неотрицательность скалярного квадрата ($ \vec{a}^2 \ge 0 $) и равенство нулю для ортогональных векторов.