Номер 16, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. С помощью теодолита (или эклиметра) и рулетки сделайте необходимые измерения и найдите высоту недоступного предмета (например, дерева) (рис. 15.9).

Рис. 15.9

Рис. 15.10

Для определения высоты недоступного предмета, такого как дерево, показанное на рисунке 15.9, когда прямое измерение расстояния до его основания невозможно (например, из-за рва или другого препятствия), используется тригонометрический метод. Он заключается в измерении углов до вершины объекта с двух точек, расположенных на известном расстоянии друг от друга.

Порядок действий:

1. На одной прямой с основанием объекта (точка L) выбирают две удобные для измерений точки P и Q. Расстояние между этими точками, называемое базисом, должно быть доступно для измерения.

2. С помощью рулетки измеряют длину базиса $d = PQ$.

3. В более удаленной от объекта точке P устанавливают теодолит или эклиметр. Измеряют высоту прибора $h$ над землей.

4. Из точки P наводят прибор на вершину дерева и измеряют угол возвышения $\alpha$ (угол между горизонтальной линией и направлением на вершину).

5. Переносят прибор в точку Q, которая находится ближе к дереву, и устанавливают его на ту же самую высоту $h$.

6. Из точки Q измеряют новый угол возвышения $\beta$. Так как точка Q ближе, угол $\beta$ будет больше угла $\alpha$.

Математический расчет:

Пусть $H$ – искомая высота дерева. Она складывается из высоты прибора $h$ и высоты $H'$, которую мы определим с помощью тригонометрии: $H = H' + h$. Высота $H'$ — это высота дерева над горизонтальной плоскостью, на которой находится объектив прибора.

Пусть $x$ – неизвестное горизонтальное расстояние от ближайшей точки измерения Q до ствола дерева.

Мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника, образованных линиями визирования и высотой $H'$:

1. Для треугольника, образованного при наблюдении из точки Q (на рисунке точка N находится над Q), катетами являются $H'$ и $x$. Соотношение между ними определяется через тангенс угла $\beta$:

$ \tan\beta = \frac{H'}{x} $

Из этого уравнения можно выразить расстояние $x$:

$ x = \frac{H'}{\tan\beta} $ (1)

2. Для треугольника, образованного при наблюдении из точки P, катетами являются $H'$ и $(x+d)$. Соотношение между ними определяется через тангенс угла $\alpha$:

$ \tan\alpha = \frac{H'}{x+d} $ (2)

Теперь подставим выражение для $x$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$ \tan\alpha = \frac{H'}{\frac{H'}{\tan\beta} + d} $

Решим полученное уравнение относительно $H'$:

$ \tan\alpha \cdot (\frac{H'}{\tan\beta} + d) = H' $

$ \frac{H' \cdot \tan\alpha}{\tan\beta} + d \cdot \tan\alpha = H' $

$ d \cdot \tan\alpha = H' - \frac{H' \cdot \tan\alpha}{\tan\beta} $

$ d \cdot \tan\alpha = H' \cdot (1 - \frac{\tan\alpha}{\tan\beta}) $

$ d \cdot \tan\alpha = H' \cdot (\frac{\tan\beta - \tan\alpha}{\tan\beta}) $

Из последнего выражения находим формулу для $H'$:

$ H' = \frac{d \cdot \tan\alpha \cdot \tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha} $

Чтобы найти полную высоту дерева $H$, нужно к полученному значению $H'$ прибавить высоту прибора $h$.

Ответ: Чтобы найти высоту недоступного предмета $H$, необходимо рулеткой измерить расстояние $d$ между двумя точками наблюдения (базис) и высоту прибора $h$, а с помощью теодолита (или эклиметра) измерить углы возвышения $\alpha$ и $\beta$ из этих точек. Искомая высота вычисляется по формуле: $H = \frac{d \cdot \tan\alpha \cdot \tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha} + h$.