Номер 13, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В треугольнике ABC $AB = c$, $\angle A = \phi$, $\angle B = \psi$. Выразите высоту $CH$ этого треугольника через $c$, $\phi$ и $\psi$.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны сторона $AB = c$, угол $\angle A = \phi$ и угол $\angle B = \psi$. Необходимо найти длину высоты $CH$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов и определением синуса угла в прямоугольном треугольнике.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$, следовательно:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\phi + \psi)$

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ABC$. Теорема утверждает, что отношения длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим в это соотношение известные нам величины:

$\frac{AC}{\sin \psi} = \frac{c}{\sin(180^\circ - (\phi + \psi))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, мы можем упростить знаменатель в правой части уравнения:

$\sin(180^\circ - (\phi + \psi)) = \sin(\phi + \psi)$

Таким образом, соотношение принимает вид:

$\frac{AC}{\sin \psi} = \frac{c}{\sin(\phi + \psi)}$

Из этого уравнения выразим длину стороны $AC$:

$AC = \frac{c \cdot \sin \psi}{\sin(\phi + \psi)}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$, который образуется высотой $CH$ (по определению высоты, $\angle AHC = 90^\circ$). В этом треугольнике $CH$ — это катет, противолежащий углу $\angle A = \phi$, а $AC$ — это гипотенуза.

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{AC}$

Отсюда $\sin \phi = \frac{CH}{AC}$, и мы можем выразить высоту $CH$:

$CH = AC \cdot \sin \phi$

На последнем шаге подставим в это равенство ранее найденное выражение для стороны $AC$:

$CH = \left( \frac{c \cdot \sin \psi}{\sin(\phi + \psi)} \right) \cdot \sin \phi$

Перегруппировав множители, получаем окончательное выражение для высоты $CH$.

Ответ: $CH = \frac{c \sin \phi \sin \psi}{\sin(\phi + \psi)}$