Страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В треугольнике $ABC$ $AB = 2$, $BC = 3$, $AC = 4$. Найдите отрезки, на которые биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ этого треугольника делят его стороны (рис. 15.6).

Рис. 15.6

Для решения этой задачи используется свойство биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам треугольника.

Биссектриса AA₁

Биссектриса $AA_1$ делит сторону $BC$ на отрезки $BA_1$ и $A_1C$. Согласно свойству биссектрисы, отношение этих отрезков равно отношению прилежащих сторон $AB$ и $AC$.

$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные длины сторон $AB = 2$ и $AC = 4$:

$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения получаем, что $A_1C = 2 \cdot BA_1$. Также мы знаем, что сумма длин этих отрезков равна длине стороны $BC$: $BA_1 + A_1C = BC = 3$.

Решим систему уравнений. Подставим выражение для $A_1C$ в уравнение суммы отрезков:

$BA_1 + (2 \cdot BA_1) = 3$

$3 \cdot BA_1 = 3$

$BA_1 = 1$

Теперь найдем длину второго отрезка:

$A_1C = 2 \cdot BA_1 = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: биссектриса $AA_1$ делит сторону $BC$ на отрезки $BA_1 = 1$ и $A_1C = 2$.

Биссектриса BB₁

Биссектриса $BB_1$ делит сторону $AC$ на отрезки $AB_1$ и $B_1C$. По свойству биссектрисы:

$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC}$

Подставим известные длины сторон $AB = 2$ и $BC = 3$:

$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{2}{3}$

Отсюда $3 \cdot AB_1 = 2 \cdot B_1C$. Сумма длин отрезков равна длине стороны $AC$: $AB_1 + B_1C = AC = 4$.

Решим систему. Из второго уравнения выразим $AB_1 = 4 - B_1C$ и подставим в первое:

$3 \cdot (4 - B_1C) = 2 \cdot B_1C$

$12 - 3 \cdot B_1C = 2 \cdot B_1C$

$12 = 5 \cdot B_1C$

$B_1C = \frac{12}{5} = 2,4$

Теперь найдем длину $AB_1$:

$AB_1 = 4 - B_1C = 4 - \frac{12}{5} = \frac{20 - 12}{5} = \frac{8}{5} = 1,6$

Ответ: биссектриса $BB_1$ делит сторону $AC$ на отрезки $AB_1 = \frac{8}{5}$ и $B_1C = \frac{12}{5}$.

Биссектриса CC₁

Биссектриса $CC_1$ делит сторону $AB$ на отрезки $AC_1$ и $C_1B$. По свойству биссектрисы:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{AC}{BC}$

Подставим известные длины сторон $AC = 4$ и $BC = 3$:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{4}{3}$

Отсюда $3 \cdot AC_1 = 4 \cdot C_1B$. Сумма длин отрезков равна длине стороны $AB$: $AC_1 + C_1B = AB = 2$.

Решим систему. Из второго уравнения выразим $AC_1 = 2 - C_1B$ и подставим в первое:

$3 \cdot (2 - C_1B) = 4 \cdot C_1B$

$6 - 3 \cdot C_1B = 4 \cdot C_1B$

$6 = 7 \cdot C_1B$

$C_1B = \frac{6}{7}$

Теперь найдем длину $AC_1$:

$AC_1 = 2 - C_1B = 2 - \frac{6}{7} = \frac{14 - 6}{7} = \frac{8}{7}$

Ответ: биссектриса $CC_1$ делит сторону $AB$ на отрезки $AC_1 = \frac{8}{7}$ и $C_1B = \frac{6}{7}$.

11. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $CD$. Докажите, что $AC : BC = \sin \angle DCB : \sin \angle DCA$.

Рассмотрим два треугольника, на которые медиана $CD$ делит исходный треугольник $ABC$: это треугольник $ACD$ и треугольник $BCD$. Для доказательства воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Применим эту формулу к треугольникам $ACD$ и $BCD$.

Для треугольника $ACD$ площадь $S_{ACD}$ выражается как:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin\angle DCA$.

Для треугольника $BCD$ площадь $S_{BCD}$ выражается как:$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin\angle DCB$.

По определению, медиана $CD$ делит сторону $AB$ на два равных отрезка: $AD = DB$. Треугольники $ACD$ и $BCD$ имеют равные основания ($AD = DB$) и общую высоту, опущенную из вершины $C$ на сторону $AB$. Следовательно, их площади равны:

$S_{ACD} = S_{BCD}$.

Теперь приравняем выражения для площадей, полученные ранее:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin\angle DCA = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin\angle DCB$.

Сократим обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{2}CD$ (длина медианы $CD$ не равна нулю):

$AC \cdot \sin\angle DCA = BC \cdot \sin\angle DCB$.

Чтобы получить требуемое соотношение, разделим обе части равенства на $BC \cdot \sin\angle DCA$ (эти величины не равны нулю в невырожденном треугольнике):

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin\angle DCB}{\sin\angle DCA}$.

Это равенство можно записать в виде пропорции: $AC : BC = \sin\angle DCB : \sin\angle DCA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Приравнивая их площади, выраженные через формулу с синусом, и сокращая общие члены, мы приходим к требуемому соотношению $AC : BC = \sin\angle DCB : \sin\angle DCA$.

12. В трапеции $ABCD$ ($AB \parallel CD$) $AB = a$, $CD = b$ ($a > b$), $\angle A = \Phi$, $\angle B = \Psi$. Выразите боковые стороны $AD$ и $BC$ трапеции через $a, b, \Phi$ и $\Psi$.

Для решения задачи воспользуемся методом проведения высот. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, причем $AB \parallel CD$, $AB = a$, $CD = b$ ($a > b$), $\angle A = \phi$, $\angle B = \psi$. Необходимо найти длины боковых сторон $AD$ и $BC$.

1. Проведем из вершин $C$ и $D$ высоты $CF$ и $DE$ на основание $AB$. Так как $AB \parallel CD$ и $DE \perp AB$, $CF \perp AB$, то $DEFC$ — прямоугольник. Следовательно, $EF = CD = b$. Высоты трапеции равны, обозначим их длину через $h$: $DE = CF = h$.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle BFC$.

В треугольнике $\triangle ADE$ ($\angle AED = 90^\circ$):

• $\sin(\angle A) = \frac{DE}{AD}$, откуда $AD = \frac{DE}{\sin(\angle A)} = \frac{h}{\sin(\phi)}$.
• $\tan(\angle A) = \frac{DE}{AE}$, откуда $AE = \frac{DE}{\tan(\angle A)} = h \cdot \cot(\phi)$.

В треугольнике $\triangle BFC$ ($\angle BFC = 90^\circ$):

• $\sin(\angle B) = \frac{CF}{BC}$, откуда $BC = \frac{CF}{\sin(\angle B)} = \frac{h}{\sin(\psi)}$.
• $\tan(\angle B) = \frac{CF}{BF}$, откуда $BF = \frac{CF}{\tan(\angle B)} = h \cdot \cot(\psi)$.

3. Длина основания $AB$ может быть представлена как сумма длин отрезков $AE$, $EF$ и $FB$:

$AB = AE + EF + FB$

Подставим известные значения:

$a = AE + b + FB$

Отсюда получаем:

$AE + FB = a - b$

4. Теперь подставим в это равенство выражения для $AE$ и $FB$, полученные на шаге 2:

$h \cdot \cot(\phi) + h \cdot \cot(\psi) = a - b$

Вынесем $h$ за скобки:

$h(\cot(\phi) + \cot(\psi)) = a - b$

Выразим высоту $h$:

$h = \frac{a - b}{\cot(\phi) + \cot(\psi)}$

5. Теперь, зная $h$, мы можем найти длины боковых сторон $AD$ и $BC$.

AD

Используем формулу $AD = \frac{h}{\sin(\phi)}$ и подставляем в нее выражение для $h$:

$AD = \frac{a - b}{(\cot(\phi) + \cot(\psi))\sin(\phi)}$

Упростим знаменатель. Для этого преобразуем сумму котангенсов:

$\cot(\phi) + \cot(\psi) = \frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} + \frac{\cos(\psi)}{\sin(\psi)} = \frac{\cos(\phi)\sin(\psi) + \cos(\psi)\sin(\phi)}{\sin(\phi)\sin(\psi)} = \frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\phi)\sin(\psi)}$

Подставим это обратно в выражение для $AD$:

$AD = \frac{a - b}{\frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\phi)\sin(\psi)} \cdot \sin(\phi)} = \frac{a - b}{\frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\psi)}} = \frac{(a - b)\sin(\psi)}{\sin(\phi + \psi)}$

Ответ: $AD = \frac{(a - b)\sin(\psi)}{\sin(\phi + \psi)}$

BC

Аналогично, используем формулу $BC = \frac{h}{\sin(\psi)}$ и подставляем в нее выражение для $h$:

$BC = \frac{a - b}{(\cot(\phi) + \cot(\psi))\sin(\psi)}$

Используем ранее найденное выражение для суммы котангенсов:

$BC = \frac{a - b}{\frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\phi)\sin(\psi)} \cdot \sin(\psi)} = \frac{a - b}{\frac{\sin(\phi + \psi)}{\sin(\phi)}} = \frac{(a - b)\sin(\phi)}{\sin(\phi + \psi)}$

Ответ: $BC = \frac{(a - b)\sin(\phi)}{\sin(\phi + \psi)}$

13. В треугольнике ABC $AB = c$, $\angle A = \phi$, $\angle B = \psi$. Выразите высоту $CH$ этого треугольника через $c$, $\phi$ и $\psi$.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны сторона $AB = c$, угол $\angle A = \phi$ и угол $\angle B = \psi$. Необходимо найти длину высоты $CH$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов и определением синуса угла в прямоугольном треугольнике.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$, следовательно:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\phi + \psi)$

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ABC$. Теорема утверждает, что отношения длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим в это соотношение известные нам величины:

$\frac{AC}{\sin \psi} = \frac{c}{\sin(180^\circ - (\phi + \psi))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, мы можем упростить знаменатель в правой части уравнения:

$\sin(180^\circ - (\phi + \psi)) = \sin(\phi + \psi)$

Таким образом, соотношение принимает вид:

$\frac{AC}{\sin \psi} = \frac{c}{\sin(\phi + \psi)}$

Из этого уравнения выразим длину стороны $AC$:

$AC = \frac{c \cdot \sin \psi}{\sin(\phi + \psi)}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$, который образуется высотой $CH$ (по определению высоты, $\angle AHC = 90^\circ$). В этом треугольнике $CH$ — это катет, противолежащий углу $\angle A = \phi$, а $AC$ — это гипотенуза.

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{AC}$

Отсюда $\sin \phi = \frac{CH}{AC}$, и мы можем выразить высоту $CH$:

$CH = AC \cdot \sin \phi$

На последнем шаге подставим в это равенство ранее найденное выражение для стороны $AC$:

$CH = \left( \frac{c \cdot \sin \psi}{\sin(\phi + \psi)} \right) \cdot \sin \phi$

Перегруппировав множители, получаем окончательное выражение для высоты $CH$.

Ответ: $CH = \frac{c \sin \phi \sin \psi}{\sin(\phi + \psi)}$

14. Используя данные, указанные на рисунке 15.7, найдите расстояние от корабля $K$ до берега $AB$. В ответе укажите целое число метров.

Для решения задачи обозначим точки на берегу как A и B, а положение корабля — как K. Таким образом, мы имеем треугольник ABK. Расстояние от корабля K до берега AB — это высота этого треугольника, проведенная из вершины K к стороне AB. Обозначим эту высоту как $h$.

По условию задачи нам известны следующие данные:

Длина стороны $AB = 540$ м.
Угол при вершине A: $\angle KAB = 70^\circ$.
Угол при вершине B: $\angle KBA = 80^\circ$.

1. Найдём третий угол треугольника.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, угол при вершине K, $\angle AKB$, можно вычислить следующим образом:$\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - (70^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2. Используем теорему синусов.
Теорема синусов для треугольника ABK гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла является постоянным для всех сторон:$\frac{AB}{\sin(\angle AKB)} = \frac{AK}{\sin(\angle KBA)} = \frac{BK}{\sin(\angle KAB)}$

Используя эту теорему, найдем длину стороны AK:$\frac{540}{\sin(30^\circ)} = \frac{AK}{\sin(80^\circ)}$Выразим AK:$AK = \frac{540 \cdot \sin(80^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

3. Вычислим высоту $h$.
Проведем высоту $h$ из вершины K к стороне AB. Пусть H — точка пересечения высоты со стороной AB. В образовавшемся прямоугольном треугольнике AKH, высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\angle KAB = 70^\circ$.Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:$\sin(\angle KAB) = \frac{h}{AK}$Отсюда $h = AK \cdot \sin(\angle KAB)$.

4. Подставим выражение для AK и вычислим $h$.
Подставим найденное ранее выражение для AK в формулу для высоты $h$:$h = \left( \frac{540 \cdot \sin(80^\circ)}{\sin(30^\circ)} \right) \cdot \sin(70^\circ) = \frac{540 \cdot \sin(80^\circ) \cdot \sin(70^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Теперь выполним вычисления, используя значения синусов:$\sin(30^\circ) = 0.5$
$\sin(70^\circ) \approx 0.9397$
$\sin(80^\circ) \approx 0.9848$

$h \approx \frac{540 \cdot 0.9848 \cdot 0.9397}{0.5} \approx \frac{499.45}{0.5} \approx 998.9$ м.

Для более точного расчета:$h = \frac{540 \cdot \sin(80^\circ) \cdot \sin(70^\circ)}{\sin(30^\circ)} \approx 999.45$ м.

Согласно условию, ответ необходимо указать в виде целого числа метров. Округляя полученное значение до ближайшего целого, получаем 999 м.

Ответ: 999

15. Из некоторой точки вершина горы видна под углом $30^\circ$. При приближении к горе на 1000 м вершина стала видна под углом $45^\circ$. Найдите приблизительную высоту горы (рис. 15.8). В ответе укажите целое число метров.

Рис. 15.8

Для решения задачи введем обозначения согласно рисунку. Пусть $CD = h$ — это искомая высота горы, а $BD = x$ — расстояние от точки $B$ до перпендикуляра, опущенного из вершины горы. По условию, расстояние $AB = 1000$ м. Таким образом, полное расстояние от начальной точки $A$ до основания горы равно $AD = AB + BD = 1000 + x$.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Он является прямоугольным ($\angle CDB = 90^\circ$). Угол $\angle CBD$ равен $45^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому угол $\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку два угла в треугольнике $\triangle BCD$ равны, он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $CD = BD$. Это дает нам первое соотношение: $h = x$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Он также является прямоугольным ($\angle CDA = 90^\circ$). Угол $\angle CAD$ равен $30^\circ$. По определению тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle CAD) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD}$
Подставим наши обозначения: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{1000 + x}$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $h = x$
2) $\tan(30^\circ) = \frac{h}{1000 + x}$

Подставим значение $x$ из первого уравнения во второе: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{1000 + h}$
Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим это значение в уравнение: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{1000 + h}$
Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим: $1 \cdot (1000 + h) = h \cdot \sqrt{3}$ $1000 + h = h\sqrt{3}$
Сгруппируем все члены с $h$ в правой части уравнения: $1000 = h\sqrt{3} - h$ $1000 = h(\sqrt{3} - 1)$
Выразим $h$: $h = \frac{1000}{\sqrt{3} - 1}$
Для вычисления приближенного значения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$: $h = \frac{1000(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{1000(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{1000(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{1000(\sqrt{3} + 1)}{2} = 500(\sqrt{3} + 1)$
Теперь вычислим числовое значение, приняв $\sqrt{3} \approx 1.732$: $h \approx 500(1.732 + 1) = 500 \cdot 2.732 = 1366$
По условию задачи, ответ необходимо указать в виде целого числа метров.

Ответ: 1366