Страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В треугольнике $ABC$ $AC = b$, $BC = a$. Докажите, что для биссектрисы $l_c$, проведенной из вершины $C$, имеет место формула

$l_c = \sqrt{ab - c'c''}$

где $c'$, $c''$ — отрезки, на которые биссектриса делит сторону $AB$ (рис. 16.5).

Рис. 16.5

Для доказательства данной формулы можно использовать несколько подходов. Один из самых наглядных — с применением теоремы косинусов и свойства биссектрисы угла треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AC = b$ и $BC = a$. $CD$ — биссектриса угла $C$, ее длина $l_c$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$ и делит ее на отрезки $AD = c'$ и $DB = c''$. Обозначим угол $\angle C$ как $2\gamma$, тогда, поскольку $CD$ является биссектрисой, углы $\angle ACD$ и $\angle BCD$ равны $\gamma$.

Применим теорему косинусов для треугольников $ACD$ и $BCD$.

В треугольнике $ACD$ для стороны $c'$ имеем:

$c'^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD)$

$c'^2 = b^2 + l_c^2 - 2bl_c \cos\gamma$

Из этого уравнения выразим $\cos\gamma$:

$\cos\gamma = \frac{b^2 + l_c^2 - c'^2}{2bl_c}$ (1)

В треугольнике $BCD$ для стороны $c''$ имеем:

$c''^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$c''^2 = a^2 + l_c^2 - 2al_c \cos\gamma$

Отсюда также выразим $\cos\gamma$:

$\cos\gamma = \frac{a^2 + l_c^2 - c''^2}{2al_c}$ (2)

Поскольку левые части выражений (1) и (2) равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{b^2 + l_c^2 - c'^2}{2bl_c} = \frac{a^2 + l_c^2 - c''^2}{2al_c}$

Умножим обе части на $2l_c$ (так как $l_c > 0$):

$\frac{b^2 + l_c^2 - c'^2}{b} = \frac{a^2 + l_c^2 - c''^2}{a}$

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$a(b^2 + l_c^2 - c'^2) = b(a^2 + l_c^2 - c''^2)$

Раскроем скобки:

$ab^2 + al_c^2 - ac'^2 = a^2b + bl_c^2 - bc''^2$

Сгруппируем члены, содержащие $l_c^2$, в левой части уравнения, а все остальные — в правой:

$al_c^2 - bl_c^2 = a^2b - ab^2 + ac'^2 - bc''^2$

Вынесем общие множители за скобки:

$l_c^2(a - b) = ab(a - b) + ac'^2 - bc''^2$ (3)

Теперь воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB} \implies \frac{b}{a} = \frac{c'}{c''}$

Из этой пропорции следует, что $bc'' = ac'$.

Преобразуем выражение $ac'^2 - bc''^2$, используя полученное равенство:

$ac'^2 - bc''^2 = c'(ac') - c''(bc'') = c'(bc'') - c''(ac') = bc'c'' - ac'c'' = c'c''(b - a) = -c'c''(a - b)$

Подставим это выражение в уравнение (3):

$l_c^2(a - b) = ab(a - b) - c'c''(a - b)$

Для дальнейшего решения рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a \neq b$

В этом случае выражение $(a-b)$ не равно нулю, и мы можем разделить обе части уравнения на $(a-b)$:

$l_c^2 = ab - c'c''$

Случай 2: $a = b$

Если $a=b$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, $CD$ — высота, а $\triangle ADC$ — прямоугольный треугольник ($\angle ADC = 90^\circ$). Также, так как $CD$ — медиана, $c' = c''$.

По теореме Пифагора для $\triangle ADC$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 \implies b^2 = c'^2 + l_c^2$

Отсюда $l_c^2 = b^2 - c'^2$.

Проверим, соответствует ли этому результату доказываемая формула. При $a=b$ и $c'=c''$ она принимает вид:

$l_c^2 = ab - c'c'' = b \cdot b - c' \cdot c' = b^2 - c'^2$

Результаты совпадают. Таким образом, формула верна и для случая равнобедренного треугольника.

Поскольку формула доказана для обоих случаев, она является верной для любого треугольника. Из равенства $l_c^2 = ab - c'c''$, учитывая, что длина отрезка — положительная величина, получаем:

$l_c = \sqrt{ab - c'c''}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $l_c = \sqrt{ab - c'c''}$ для длины биссектрисы треугольника доказана.

18. В треугольнике $ABC$ $AB = 10$, $AC = 8$, $BC = 6$. Найдите биссектрису $BD$.

Для решения задачи сначала определим тип треугольника $ABC$. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора.

Даны стороны: $AB=10$, $AC=8$, $BC=6$.
Вычислим квадраты сторон:
$AB^2 = 10^2 = 100$
$AC^2 = 8^2 = 64$
$BC^2 = 6^2 = 36$

Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:
$AC^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100$.
Так как $AC^2 + BC^2 = AB^2$, то треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$).

Биссектриса $BD$ выходит из вершины $B$ и делит противолежащую сторону $AC$ на два отрезка: $AD$ и $DC$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$

Подставим известные значения длин сторон в это соотношение:
$\frac{AD}{DC} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
Отсюда можно выразить длину отрезка $AD$ через $DC$: $AD = \frac{5}{3} DC$.

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому сумма длин отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$:
$AD + DC = AC = 8$
Заменим $AD$ на выражение $\frac{5}{3} DC$ и решим получившееся уравнение:
$\frac{5}{3} DC + DC = 8$
$\frac{5DC + 3DC}{3} = 8$
$\frac{8}{3} DC = 8$
$DC = 3$

Теперь, когда мы знаем длину отрезка $DC$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $BDC$. В этом треугольнике катеты равны $BC=6$ и $DC=3$, а гипотенузой является искомая биссектриса $BD$. Применим теорему Пифагора для треугольника $BDC$:
$BD^2 = BC^2 + DC^2$
$BD^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$
$BD = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Ответ: $3\sqrt{5}$

19. В треугольнике $ABC$ $AB = 5$, $AC = BC = 20$. Найдите биссектрису $AD$.

20. В треугольнике $ABC$ $AC = 12$, $BC = 15$, $AB = 18$. Найдите бис-

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 5$, $AC = 20$ и $BC = 20$. Биссектриса $AD$ угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$.

Для нахождения длины биссектрисы $AD$ воспользуемся свойством биссектрисы треугольника. Биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В нашем случае биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $CD$. Таким образом, справедливо соотношение: $ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $

Подставим известные длины сторон $AB$ и $AC$: $ \frac{BD}{CD} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $

Из этой пропорции выразим $CD$ через $BD$: $ CD = 4 \cdot BD $

Сумма длин отрезков $BD$ и $CD$ равна длине стороны $BC$: $ BD + CD = BC = 20 $

Подставим выражение для $CD$ в это уравнение: $ BD + 4 \cdot BD = 20 $ $ 5 \cdot BD = 20 $ $ BD = \frac{20}{5} = 4 $

Теперь найдем длину отрезка $CD$: $ CD = 4 \cdot BD = 4 \cdot 4 = 16 $

Длину биссектрисы $AD$ можно вычислить по формуле: $ AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot CD $

Подставим найденные и известные значения в формулу: $ AD^2 = 5 \cdot 20 - 4 \cdot 16 $ $ AD^2 = 100 - 64 $ $ AD^2 = 36 $

Чтобы найти длину $AD$, извлечем квадратный корень из полученного значения: $ AD = \sqrt{36} = 6 $

Ответ: 6

20. В треугольнике $ABC$ $AC = 12$, $BC = 15$, $AB = 18$. Найдите биссектрису $CD$.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AC = 12$, $BC = 15$ и $AB = 18$ проведена биссектриса $CD$. Для нахождения ее длины необходимо выполнить два шага.

1. Нахождение длин отрезков, на которые биссектриса делит сторону AB.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$. Таким образом, выполняется соотношение:$ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} $

Подставим известные значения длин сторон $AC$ и $BC$:$ \frac{AD}{DB} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $

Из этой пропорции можно выразить $AD$ через $DB$: $AD = \frac{4}{5} DB$.Мы также знаем, что сумма длин отрезков $AD$ и $DB$ равна длине всей стороны $AB$:$ AD + DB = AB = 18 $

Подставим выражение для $AD$ в это равенство:$ \frac{4}{5} DB + DB = 18 $$ \frac{9}{5} DB = 18 $Решим уравнение относительно $DB$:$ DB = 18 \cdot \frac{5}{9} = 2 \cdot 5 = 10 $

Теперь найдем длину отрезка $AD$:$ AD = 18 - DB = 18 - 10 = 8 $Итак, биссектриса делит сторону $AB$ на отрезки $AD=8$ и $DB=10$.

2. Вычисление длины биссектрисы CD.

Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле, связывающей ее с длинами сторон треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону:$ CD^2 = AC \cdot BC - AD \cdot DB $

Подставим в формулу известные и вычисленные значения:$ CD^2 = 12 \cdot 15 - 8 \cdot 10 $$ CD^2 = 180 - 80 $$ CD^2 = 100 $$ CD = \sqrt{100} = 10 $

Следовательно, длина биссектрисы $CD$ равна 10.

Ответ: 10

21. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 5, 6, 7.

Для нахождения площади треугольника, зная длины всех трех его сторон, используется формула Герона. Стороны треугольника обозначим как $a, b, c$.

Дано: $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$.

Формула Герона для площади $S$ треугольника имеет вид:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p$ — это полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

1. Найдем полупериметр треугольника:

$p = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

2. Теперь подставим значения длин сторон и полупериметра в формулу Герона:

$S = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)}$

$S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}$

$S = \sqrt{216}$

3. Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители:

$S = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.

Таким образом, площадь треугольника равна $6\sqrt{6}$.

Ответ: $6\sqrt{6}$.

22. Повторите понятие окружности.

Определение окружности

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, представляющая собой множество всех точек, равноудалённых от одной данной точки. Эта точка называется центром окружности, а заданное расстояние — радиусом.

Основные элементы и связанные понятия

Центр — это исходная точка, от которой равноудалены все точки окружности. Обычно обозначается буквой O.

Радиус (r) — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на самой окружности. Также этим термином обозначают длину этого отрезка.

Хорда — это отрезок, который соединяет две любые точки на окружности.

Диаметр (d) — это хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой и по длине равен двум радиусам: $d = 2r$.

Дуга — это любая непрерывная часть окружности, заключенная между двумя её точками.

Секущая — это прямая, пересекающая окружность в двух различных точках.

Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку (точку касания). Важное свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной прямой.

Уравнение окружности

В прямоугольной (декартовой) системе координат уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

Частный случай: если центр окружности находится в начале координат, то есть в точке (0, 0), уравнение упрощается:

$x^2 + y^2 = r^2$

Длина окружности и число $\pi$

Длина окружности (периметр) вычисляется по формуле:

$C = 2\pi r$

где $r$ — это радиус, а $\pi$ (пи) — это фундаментальная математическая константа, которая выражает отношение длины любой окружности к её диаметру. Её приближенное значение — $3.14159$. Формулу длины можно также выразить через диаметр:

$C = \pi d$

Сравнение с кругом

Следует отличать окружность от круга. Окружность — это только замкнутая линия. Круг — это часть плоскости, которая ограничена окружностью, то есть включает и саму линию, и всю область внутри неё. Площадь круга находят по формуле: $A = \pi r^2$.

Ответ: Окружность — это плоская геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудалённых от данной точки (центра) на данное расстояние (радиус). Ключевые понятия, связанные с окружностью, — это центр, радиус ($r$), диаметр ($d=2r$), хорда, касательная и секущая. Аналитически окружность задается уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, а её длина вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

23. На рисунке 16.6 изображена окружность и ее центр $O$. Попробуйте выразить угол $ACB$ через угол $AOB$.

Рис. 16.6

Задача состоит в том, чтобы найти зависимость между величиной вписанного угла $ \angle ACB $ и величиной центрального угла $ \angle AOB $, которые опираются на одну и ту же дугу $ AB $.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. В данном случае это $ \angle ACB $. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами. В данном случае это $ \angle AOB $.

Для нахождения соотношения между этими углами докажем известную теорему о вписанном угле.

1. Дополнительное построение.

Проведем из вершины $ C $ луч, проходящий через центр окружности $ O $, и продлим его до пересечения с окружностью в точке $ D $. Таким образом, отрезок $ CD $ является диаметром окружности.

2. Рассмотрение треугольника $ \triangle AOC $.

Стороны $ OA $ и $ OC $ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $ OA = OC = R $.
Это означает, что треугольник $ \triangle AOC $ — равнобедренный с основанием $ AC $.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: $ \angle OAC = \angle OCA $.
Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $, поэтому для $ \triangle AOC $ имеем: $ \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ $.
Заменив $ \angle OAC $ на равный ему $ \angle OCA $, получим: $ 2 \cdot \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ $.

Углы $ \angle AOC $ и $ \angle AOD $ являются смежными, так как они лежат на прямой $ CD $ (диаметре). Их сумма равна $ 180^\circ $: $ \angle AOC + \angle AOD = 180^\circ $.
Из двух последних равенств следует, что $ 2 \cdot \angle OCA + \angle AOC = \angle AOC + \angle AOD $.
Вычитая $ \angle AOC $ из обеих частей, получаем: $ 2 \cdot \angle OCA = \angle AOD $, или $ \angle OCA = \frac{1}{2} \angle AOD $.

3. Рассмотрение треугольника $ \triangle BOC $.

Аналогично, стороны $ OB $ и $ OC $ являются радиусами ($ OB = OC = R $), поэтому треугольник $ \triangle BOC $ также является равнобедренным с основанием $ BC $.
Следовательно, углы при основании равны: $ \angle OBC = \angle OCB $.
Проводя те же рассуждения, что и для $ \triangle AOC $, приходим к выводу, что $ 2 \cdot \angle OCB = \angle BOD $, или $ \angle OCB = \frac{1}{2} \angle BOD $.

4. Нахождение итогового соотношения.

Из рисунка видно, что угол $ \angle ACB $ складывается из двух углов: $ \angle ACB = \angle OCA + \angle OCB $.
Центральный угол $ \angle AOB $ складывается из углов $ \angle AOD $ и $ \angle BOD $: $ \angle AOB = \angle AOD + \angle BOD $. (Это верно для случая, когда центр $ O $ лежит внутри угла $ \angle ACB $, как на рисунке).

Подставим выражения для $ \angle OCA $ и $ \angle OCB $, полученные ранее, в формулу для $ \angle ACB $:
$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOD + \frac{1}{2} \angle BOD = \frac{1}{2} (\angle AOD + \angle BOD) $.

Поскольку $ \angle AOD + \angle BOD = \angle AOB $, мы можем выполнить замену и получить окончательное выражение:
$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $.

Таким образом, мы выразили угол $ \angle ACB $ через угол $ \angle AOB $. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Ответ: $ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $.