Страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Не вычисляя углы треугольника, укажите его вид (относительно углов), если стороны треугольника равны:

а) 7, 8, 12;

б) 30, 40, 50;

в) 13, 14, 15.

Для определения вида треугольника по его сторонам (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) используется следствие из теоремы косинусов. Пусть $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, где $c$ — наибольшая сторона. Вид треугольника определяется сравнением квадрата наибольшей стороны ($c^2$) с суммой квадратов двух других сторон ($a^2 + b^2$).

• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник является тупоугольным (угол, лежащий против стороны $c$, — тупой).

• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник является прямоугольным (угол, лежащий против стороны $c$, — прямой). Это утверждение известно как теорема, обратная теореме Пифагора.

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник является остроугольным (все углы острые).

Применим это правило к каждому из заданных треугольников.

а) Стороны треугольника равны 7, 8, 12.

Наибольшая сторона $c = 12$. Две другие стороны $a = 7$ и $b = 8$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 12^2 = 144$.

Вычислим сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.

Сравним полученные значения: $144 > 113$.

Так как $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.

б) Стороны треугольника равны 30, 40, 50.

Наибольшая сторона $c = 50$. Две другие стороны $a = 30$ и $b = 40$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 50^2 = 2500$.

Вычислим сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$.

Сравним полученные значения: $2500 = 2500$.

Так как $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.

в) Стороны треугольника равны 13, 14, 15.

Наибольшая сторона $c = 15$. Две другие стороны $a = 13$ и $b = 14$.

Вычислим квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 15^2 = 225$.

Вычислим сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$.

Сравним полученные значения: $225 < 365$.

Так как $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

3. В треугольнике $ABC$ $AB = 12$, $AC = 8$, $\angle A = 60^\circ$. Найдите третью сторону.

Для нахождения длины третьей стороны треугольника (BC), когда известны две другие стороны (AB и AC) и угол между ними ($\angle A$), используется теорема косинусов.

Теорема косинусов для нашего случая записывается так:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Нам даны следующие значения:
$AB = 12$
$AC = 8$
$\angle A = 60^\circ$

Косинус угла 60 градусов является табличным значением: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим все известные значения в формулу и выполним вычисления:
$BC^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$
$BC^2 = 144 + 64 - 12 \cdot 8$
$BC^2 = 208 - 96$
$BC^2 = 112$

Теперь, чтобы найти длину стороны BC, извлечем квадратный корень из 112. Для упрощения результата разложим 112 на множители:
$BC = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

Ответ: $4\sqrt{7}$

4. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в $30^\circ$, если прилежащие к нему стороны равны 2 и $\sqrt{3}$.

4. Для нахождения стороны треугольника, лежащей против известного угла, при известных двух других сторонах, используется теорема косинусов. Она формулируется следующим образом: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Пусть стороны треугольника, прилежащие к углу в $30^\circ$, будут $a$ и $b$, а искомая сторона, лежащая против этого угла, — $c$.

По условию задачи нам дано:

$a = 2$
$b = \sqrt{3}$
Угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ равен $30^\circ$.

Формула по теореме косинусов для нахождения стороны $c$ выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим данные значения в формулу:

$c^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Значение косинуса $30^\circ$ является табличным и равно $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$c^2 = 4 + 3 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$c^2 = 7 - 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 7 - \frac{4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2}$

$c^2 = 7 - \frac{4 \cdot 3}{2}$

$c^2 = 7 - \frac{12}{2}$

$c^2 = 7 - 6$

$c^2 = 1$

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение корня.

$c = \sqrt{1} = 1$

Ответ: 1

5. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 45°, если прилежащие к нему стороны равны 2 и $\sqrt{2}$.

Для нахождения стороны треугольника, лежащей против известного угла, при известных двух других сторонах, используется теорема косинусов. Обозначим искомый сторону как $c$, а две прилежащие к углу стороны как $a$ и $b$. Угол между сторонами $a$ и $b$ обозначим как $\gamma$.

По условию задачи имеем:

$a = 2$

$b = \sqrt{2}$

$\gamma = 45^\circ$

Формула теоремы косинусов выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

Значение косинуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Произведем вычисления:

$c^2 = 4 + 2 - 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 6 - \frac{4 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}$

$c^2 = 6 - \frac{4 \cdot 2}{2}$

$c^2 = 6 - \frac{8}{2}$

$c^2 = 6 - 4$

$c^2 = 2$

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$c = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

6. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$, угол $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ можно использовать теорему косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов.

Формула теоремы косинусов для стороны $AB$ выглядит следующим образом:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Согласно условию задачи, мы имеем:
$AC = 1$
$BC = 1$
$\angle C = 120^\circ$

Подставим известные значения в формулу:
$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Вычислим значение $\cos(120^\circ)$. Используя тригонометрические тождества, мы знаем, что $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ)$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Теперь подставим значение косинуса в наше уравнение:
$AB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2})$
$AB^2 = 2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$AB^2 = 2 + 1$
$AB^2 = 3$

Чтобы найти длину стороны $AB$, извлечем квадратный корень из 3:
$AB = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

7. В треугольнике ABC $AC = BC = 1$, угол C равен $135^\circ$. Найдите AB.

8. В треугольнике ABC $AC = BC = 1$, угол C равен $150^\circ$. Найдите AB.

7. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Применительно к нашему треугольнику ABC, формула для нахождения стороны AB будет выглядеть следующим образом:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

В условии задачи даны следующие значения: $AC = 1$, $BC = 1$ и $\angle C = 135^\circ$. Подставим их в формулу:
$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(135^\circ)$
$AB^2 = 1 + 1 - 2\cos(135^\circ)$
$AB^2 = 2 - 2\cos(135^\circ)$

Для дальнейших вычислений найдем значение $\cos(135^\circ)$. Используя формулу приведения, получаем:
$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим найденное значение косинуса в наше выражение для $AB^2$:
$AB^2 = 2 - 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$AB^2 = 2 + \sqrt{2}$

Осталось найти длину стороны AB, извлекая квадратный корень:
$AB = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Ответ: $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

8. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$, угол $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов утверждает, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Формула для стороны $AB$ выглядит следующим образом:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

В условии задачи даны следующие значения: $AC = 1$, $BC = 1$, и угол $\angle C = 150°$. Подставим эти значения в формулу:

$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(150°)$

Упростим выражение:

$AB^2 = 1 + 1 - 2\cos(150°)$

$AB^2 = 2 - 2\cos(150°)$

Далее необходимо вычислить значение $\cos(150°)$. Используем формулу приведения:

$\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°)$

Так как значение $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим найденное значение косинуса обратно в уравнение для $AB^2$:

$AB^2 = 2 - 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$AB^2 = 2 + \sqrt{3}$

Чтобы найти длину $AB$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$AB = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Ответ: $AB = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

9. В треугольнике ABC $AC = BC = 1, AB = \sqrt{3}$. Найдите его углы.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $AC = BC = 1$ и $AB = \sqrt{3}$.

Поскольку две стороны треугольника равны ($AC = BC$), то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle A = \angle B$.

Для нахождения величины углов воспользуемся теоремой косинусов. Найдем сначала угол $C$, который лежит напротив стороны $AB$.

Теорема косинусов для стороны $AB$ записывается следующим образом:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим известные длины сторон в формулу:$(\sqrt{3})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\angle C)$
$3 = 1 + 1 - 2 \cos(\angle C)$
$3 = 2 - 2 \cos(\angle C)$
$2 \cos(\angle C) = 2 - 3$
$2 \cos(\angle C) = -1$
$\cos(\angle C) = -\frac{1}{2}$

Единственный угол в треугольнике, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, — это $120^\circ$. Следовательно, $\angle C = 120^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Зная, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ и $\angle A = \angle B$, найдем углы $A$ и $B$:
$\angle A + \angle A + 120^\circ = 180^\circ$
$2\angle A = 180^\circ - 120^\circ$
$2\angle A = 60^\circ$
$\angle A = 30^\circ$

Так как $\angle A = \angle B$, то $\angle B$ также равен $30^\circ$.

Ответ: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 120^\circ$.

10. Даны три стороны треугольника $a = 2, b = 3, c = 4$. Найдите косинусы его углов $A, B, C$.

Для нахождения косинусов углов треугольника по трем известным сторонам воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими углами $A, B, C$ формулы теоремы косинусов выглядят следующим образом:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

Из этих формул выразим косинусы углов $A$, $B$ и $C$:

$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

По условию задачи даны длины сторон треугольника: $a = 2, b = 3, c = 4$.

A

Найдем косинус угла $A$, противолежащего стороне $a$. Подставим значения сторон в соответствующую формулу:

$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\cos(A) = \frac{7}{8}$.

B

Найдем косинус угла $B$, противолежащего стороне $b$. Подставим значения сторон в соответствующую формулу:

$\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}$

Ответ: $\cos(B) = \frac{11}{16}$.

C

Найдем косинус угла $C$, противолежащего стороне $c$. Подставим значения сторон в соответствующую формулу:

$\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $\cos(C) = -\frac{1}{4}$.

11. Используя рисунок 16.4, укажите способ нахождения расстояния между двумя объектами A и B, разделенными преградой.

Для нахождения расстояния между двумя объектами А и В, разделенными преградой, используется метод, основанный на решении треугольника. На рисунке показано, как это можно сделать, введя вспомогательную точку С.

Сначала на местности выбирают такую точку С, из которой есть прямая видимость до объектов А и В, и до которой можно измерить расстояние. Таким образом, объекты А, В и точка С образуют вершины треугольника АВС.

Далее с помощью измерительных приборов (например, рулетки, лазерного дальномера) определяют длины двух сторон этого треугольника — АС и ВС.

Затем с помощью угломерного прибора (например, теодолита) измеряют угол, образованный этими сторонами, — угол $\angle ACB$.

Зная длины двух сторон треугольника и угол между ними, можно найти длину третьей стороны (искомое расстояние АВ), применив теорему косинусов. Согласно этой теореме:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

Для нахождения расстояния АВ нужно извлечь квадратный корень из правой части выражения:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)}$

Ответ: Необходимо выбрать на местности точку С, из которой видны точки А и В. Затем измерить расстояния АС, ВС и угол $\angle ACB$. Искомое расстояние АВ находится по теореме косинусов по формуле: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)}$.

12. Стороны параллелограмма равны 3 см и 4 см. Один из его углов равен $60^\circ$. Найдите диагонали этого параллелограмма.

Пусть в параллелограмме даны две смежные стороны $a = 3$ см и $b = 4$ см, и угол между ними $\alpha = 60^\circ$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, второй угол параллелограмма равен $\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Диагонали параллелограмма можно найти, применив теорему косинусов. Диагональ делит параллелограмм на два треугольника.

Для нахождения первой (меньшей) диагонали $d_1$, рассмотрим треугольник со сторонами $a=3$, $b=4$ и углом между ними $\alpha = 60^\circ$. По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
Подставим значения:
$d_1^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, поэтому:
$d_1^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}$
$d_1^2 = 25 - 12$
$d_1^2 = 13$
$d_1 = \sqrt{13}$ см.

Для нахождения второй (большей) диагонали $d_2$, рассмотрим треугольник со сторонами $a=3$, $b=4$ и углом между ними $\beta = 120^\circ$. По теореме косинусов:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)$
Подставим значения:
$d_2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$, поэтому:
$d_2^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$d_2^2 = 25 + 12$
$d_2^2 = 37$
$d_2 = \sqrt{37}$ см.

Ответ: диагонали параллелограмма равны $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{37}$ см.

13. Диагонали параллелограмма равны 6 см и 8 см. Угол между ними равен 60°. Найдите стороны этого параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, диагонали которого $d_1 = 8$ см и $d_2 = 6$ см. Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Таким образом, половины диагоналей равны:

$ \frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4 $ см

$ \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 $ см

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Стороны параллелограмма являются основаниями этих треугольников, а две другие стороны каждого треугольника — это половины диагоналей. Угол между диагоналями дан как $60^\circ$. Это острый угол между ними. Смежный с ним тупой угол будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Для нахождения сторон параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Пусть $a$ и $b$ — стороны параллелограмма.

1. Найдем первую сторону параллелограмма ($a$)

Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной $a$. Угол между половинами диагоналей в этом треугольнике равен $60^\circ$. По теореме косинусов:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(60^\circ)$

Подставим значения:

$a^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получим:

$a^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 25 - 12$

$a^2 = 13$

$a = \sqrt{13}$ см.

2. Найдем вторую сторону параллелограмма ($b$)

Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной $b$. Угол между половинами диагоналей в этом треугольнике равен $120^\circ$. По теореме косинусов:

$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

Подставим значения:

$b^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим:

$b^2 = 16 + 9 - 24 \cdot (-\frac{1}{2})$

$b^2 = 25 + 12$

$b^2 = 37$

$b = \sqrt{37}$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{37}$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{37}$ см.

14. Стороны параллелограмма равны 2 см и 3 см, одна диагональ равна 4 см. Найдите другую диагональ.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$. Тогда формула, связывающая их, выглядит так:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Сторона $a = 2$ см
• Сторона $b = 3$ см
• Одна диагональ $d_1 = 4$ см

Мы ищем длину второй диагонали $d_2$.

Подставим известные значения в формулу:

$4^2 + d_2^2 = 2(2^2 + 3^2)$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Возведем в квадрат известные величины:

$16 + d_2^2 = 2(4 + 9)$

2. Сложим числа в скобках:

$16 + d_2^2 = 2(13)$

3. Выполним умножение:

$16 + d_2^2 = 26$

4. Найдем квадрат второй диагонали, вычтя 16 из обеих частей уравнения:

$d_2^2 = 26 - 16$

$d_2^2 = 10$

5. Чтобы найти длину диагонали $d_2$, извлечем квадратный корень из 10:

$d_2 = \sqrt{10}$

Таким образом, длина второй диагонали параллелограмма составляет $\sqrt{10}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.

15. Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.

Для нахождения длины медианы треугольника, проведенной к определенной стороне, можно использовать формулу Аполлония (или формулу длины медианы). Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Тогда длина медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$, вычисляется следующим образом:

$m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

В условии задачи даны стороны треугольника: 2 см, 3 см и 4 см. Большая сторона — это сторона длиной 4 см. Обозначим стороны так, чтобы медиану нужно было найти к стороне $c$:

$a = 2$ см

$b = 3$ см

$c = 4$ см (большая сторона)

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения медианы $m_c$:

$m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 - 4^2}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Возведем длины сторон в квадрат:$2^2 = 4$; $3^2 = 9$; $4^2 = 16$.

2. Подставим эти значения в выражение под корнем:$2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 - 16$

3. Выполним умножение и сложение/вычитание:$8 + 18 - 16 = 26 - 16 = 10$.

4. Теперь подставим полученное значение обратно в формулу медианы:$m_c = \frac{1}{2} \sqrt{10}$

Таким образом, длина медианы, проведенной к большей стороне, равна $\frac{\sqrt{10}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$ см.

16. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 4 см. Найдите основание этого треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3 см.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.
Боковые стороны $AB = BC = 4$ см.
Основание - $AC$.
$AM$ - медиана, проведенная к боковой стороне $BC$.
Длина медианы $AM = 3$ см.

Найти:

Длину основания $AC$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой длины медианы треугольника. Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, в треугольнике со сторонами $a, b, c$ вычисляется по формуле:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем треугольнике $ABC$:

- Сторона, к которой проведена медиана, это $BC$. Обозначим ее длину как $a$. $a = BC = 4$ см.
- Две другие стороны - это $AC$ (основание) и $AB$ (другая боковая сторона). Обозначим их длины как $b$ и $c$ соответственно. Пусть $b = AC$ (эту длину мы ищем), а $c = AB = 4$ см.
- Медиана, проведенная к стороне $a=BC$, это $AM$. Ее длина $m_a = AM = 3$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$3^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}{4}$

$9 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot 4^2 - 4^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $AC$:

$9 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot 16 - 16}{4}$

$9 = \frac{2 \cdot AC^2 + 32 - 16}{4}$

$9 = \frac{2 \cdot AC^2 + 16}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$9 \cdot 4 = 2 \cdot AC^2 + 16$

$36 = 2 \cdot AC^2 + 16$

Вычтем 16 из обеих частей:

$36 - 16 = 2 \cdot AC^2$

$20 = 2 \cdot AC^2$

Разделим обе части на 2:

$AC^2 = 10$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину $AC$:

$AC = \sqrt{10}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.