Номер 16, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 4 см. Найдите основание этого треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3 см.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.
Боковые стороны $AB = BC = 4$ см.
Основание - $AC$.
$AM$ - медиана, проведенная к боковой стороне $BC$.
Длина медианы $AM = 3$ см.

Найти:

Длину основания $AC$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой длины медианы треугольника. Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, в треугольнике со сторонами $a, b, c$ вычисляется по формуле:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем треугольнике $ABC$:

- Сторона, к которой проведена медиана, это $BC$. Обозначим ее длину как $a$. $a = BC = 4$ см.
- Две другие стороны - это $AC$ (основание) и $AB$ (другая боковая сторона). Обозначим их длины как $b$ и $c$ соответственно. Пусть $b = AC$ (эту длину мы ищем), а $c = AB = 4$ см.
- Медиана, проведенная к стороне $a=BC$, это $AM$. Ее длина $m_a = AM = 3$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$3^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}{4}$

$9 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot 4^2 - 4^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $AC$:

$9 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot 16 - 16}{4}$

$9 = \frac{2 \cdot AC^2 + 32 - 16}{4}$

$9 = \frac{2 \cdot AC^2 + 16}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$9 \cdot 4 = 2 \cdot AC^2 + 16$

$36 = 2 \cdot AC^2 + 16$

Вычтем 16 из обеих частей:

$36 - 16 = 2 \cdot AC^2$

$20 = 2 \cdot AC^2$

Разделим обе части на 2:

$AC^2 = 10$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину $AC$:

$AC = \sqrt{10}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.