Номер 12, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Стороны параллелограмма равны 3 см и 4 см. Один из его углов равен $60^\circ$. Найдите диагонали этого параллелограмма.

Пусть в параллелограмме даны две смежные стороны $a = 3$ см и $b = 4$ см, и угол между ними $\alpha = 60^\circ$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, второй угол параллелограмма равен $\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Диагонали параллелограмма можно найти, применив теорему косинусов. Диагональ делит параллелограмм на два треугольника.

Для нахождения первой (меньшей) диагонали $d_1$, рассмотрим треугольник со сторонами $a=3$, $b=4$ и углом между ними $\alpha = 60^\circ$. По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
Подставим значения:
$d_1^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, поэтому:
$d_1^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}$
$d_1^2 = 25 - 12$
$d_1^2 = 13$
$d_1 = \sqrt{13}$ см.

Для нахождения второй (большей) диагонали $d_2$, рассмотрим треугольник со сторонами $a=3$, $b=4$ и углом между ними $\beta = 120^\circ$. По теореме косинусов:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)$
Подставим значения:
$d_2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$, поэтому:
$d_2^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$d_2^2 = 25 + 12$
$d_2^2 = 37$
$d_2 = \sqrt{37}$ см.

Ответ: диагонали параллелограмма равны $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{37}$ см.