Номер 18, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В треугольнике $ABC$ $AB = 10$, $AC = 8$, $BC = 6$. Найдите биссектрису $BD$.

Для решения задачи сначала определим тип треугольника $ABC$. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора.

Даны стороны: $AB=10$, $AC=8$, $BC=6$.
Вычислим квадраты сторон:
$AB^2 = 10^2 = 100$
$AC^2 = 8^2 = 64$
$BC^2 = 6^2 = 36$

Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:
$AC^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100$.
Так как $AC^2 + BC^2 = AB^2$, то треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$).

Биссектриса $BD$ выходит из вершины $B$ и делит противолежащую сторону $AC$ на два отрезка: $AD$ и $DC$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$

Подставим известные значения длин сторон в это соотношение:
$\frac{AD}{DC} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
Отсюда можно выразить длину отрезка $AD$ через $DC$: $AD = \frac{5}{3} DC$.

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому сумма длин отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$:
$AD + DC = AC = 8$
Заменим $AD$ на выражение $\frac{5}{3} DC$ и решим получившееся уравнение:
$\frac{5}{3} DC + DC = 8$
$\frac{5DC + 3DC}{3} = 8$
$\frac{8}{3} DC = 8$
$DC = 3$

Теперь, когда мы знаем длину отрезка $DC$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $BDC$. В этом треугольнике катеты равны $BC=6$ и $DC=3$, а гипотенузой является искомая биссектриса $BD$. Применим теорему Пифагора для треугольника $BDC$:
$BD^2 = BC^2 + DC^2$
$BD^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$
$BD = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Ответ: $3\sqrt{5}$