Задания, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно рассмотрите случай, когда угол $ACB$ тупой.

Рассмотрение случая, когда угол ACB тупой

Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ угол $C$ — тупой. Это означает, что $\angle ACB > 90^\circ$. Мы хотим доказать теорему, которая связывает квадрат стороны, лежащей напротив тупого угла, с двумя другими сторонами. Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора.

Обозначим длины сторон треугольника следующим образом: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Проведём из вершины $A$ высоту $AD$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Поскольку угол $C$ является тупым, основание высоты (точка $D$) будет находиться на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. В результате этого построения образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$.

1. Рассмотрим больший прямоугольный треугольник $\triangle ADB$, в котором $\angle D = 90^\circ$. Применим к нему теорему Пифагора:

$AB^2 = AD^2 + DB^2$

Длина отрезка $DB$ представляет собой сумму длин отрезков $BC$ и $CD$. Таким образом, $DB = BC + CD = a + CD$. Подставим это выражение в уравнение Пифагора:

$c^2 = AD^2 + (a + CD)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$c^2 = AD^2 + a^2 + 2a \cdot CD + CD^2$

2. Теперь рассмотрим меньший прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором также $\angle D = 90^\circ$. Применим к нему теорему Пифагора:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Или в наших обозначениях:

$b^2 = AD^2 + CD^2$

3. В выражении для $c^2$, полученном в пункте 1, мы можем сгруппировать члены $AD^2$ и $CD^2$ и заменить их сумму на $b^2$ из пункта 2:

$c^2 = (AD^2 + CD^2) + a^2 + 2a \cdot CD$

$c^2 = b^2 + a^2 + 2a \cdot CD$

Таким образом, мы доказали, что квадрат стороны, лежащей напротив тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой стороны на прямую, содержащую первую сторону. Здесь $CD$ является проекцией стороны $AC$ на прямую $BC$.

Это соотношение также можно выразить через косинус угла $C$. Угол $\angle ACD$ является смежным с углом $\angle ACB$, поэтому $\angle ACD = 180^\circ - \angle C$. Из прямоугольного треугольника $\triangle ADC$ находим:

$CD = AC \cdot \cos(\angle ACD) = b \cdot \cos(180^\circ - \angle C) = -b \cos(C)$

Подставим это выражение для $CD$ в доказанную формулу:

$c^2 = a^2 + b^2 + 2a(-b \cos(C))$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

Мы получили теорему косинусов для случая, когда угол $C$ тупой.

Ответ: В треугольнике с тупым углом $C$ квадрат стороны $c$, противолежащей этому углу, выражается формулой $c^2 = a^2 + b^2 + 2a \cdot p_b$, где $a$ и $b$ — длины двух других сторон, а $p_b$ — проекция стороны $b$ на прямую, содержащую сторону $a$. Эта формула является геометрической записью теоремы косинусов, которая в тригонометрическом виде выглядит как $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.