Страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В окружности с центром $O$ $AB$ и $CD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $110^\circ$. Найдите вписанный угол $ABC$ рис. $(17.10)$.

Рис. 17.10

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1. Через центральные и вписанные углы

1. Искомый угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на дугу $AC$. По свойству вписанного угла, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC$.

2. Градусная мера дуги $AC$ равна величине соответствующего ей центрального угла $\angle AOC$.

3. Поскольку $CD$ — это диаметр, то точки $C$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle COD$ — развернутый и равен $180°$. Углы $\angle AOD$ и $\angle AOC$ являются смежными.

4. Сумма смежных углов равна $180°$. Из условия известно, что $\angle AOD = 110°$. Следовательно, мы можем найти угол $\angle AOC$:

$\angle AOC = 180° - \angle AOD = 180° - 110° = 70°$.

5. Теперь, зная величину центрального угла $\angle AOC$, мы можем найти вписанный угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 70° = 35°$.

Способ 2. Через свойства равнобедренного треугольника

1. Поскольку $AB$ и $CD$ — это диаметры, они пересекаются в центре окружности $O$. Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются вертикальными углами.

2. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle BOC = \angle AOD$. По условию $\angle AOD = 110°$, значит, $\angle BOC = 110°$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Его стороны $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности, а значит, они равны: $OB = OC$.

4. Следовательно, треугольник $\triangle BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Искомый угол $\angle ABC$ — это тот же угол, что и $\angle OBC$.

5. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $\triangle BOC$ справедливо:

$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180°$.

6. Подставим известные значения и воспользуемся равенством углов при основании:

$110° + 2 \cdot \angle OBC = 180°$.

7. Найдем величину угла $\angle OBC$:

$2 \cdot \angle OBC = 180° - 110°$

$2 \cdot \angle OBC = 70°$

$\angle OBC = \frac{70°}{2} = 35°$.

8. Так как $\angle ABC = \angle OBC$, то $\angle ABC = 35°$.

Ответ: $35°$.

9. Дуги AC и BC окружности составляют соответственно $200^\circ$ и $90^\circ$ (рис. 17.11). Найдите вписанный угол $\angle ACB$.

Рис. 17.11

Для нахождения вписанного угла $ACB$ необходимо сначала определить градусную меру дуги $AB$, на которую этот угол опирается.

Полная окружность составляет $360^\circ$. Точки A, B и C делят окружность на три дуги: $◡AC$, $◡BC$ и $◡AB$. Сумма их градусных мер равна $360^\circ$.

$◡AB + ◡BC + ◡AC = 360^\circ$

По условию задачи, градусная мера дуги $AC$ равна $200^\circ$, а градусная мера дуги $BC$ равна $90^\circ$.

Найдем градусную меру дуги $AB$, вычитая из полной окружности известные меры дуг:

$◡AB = 360^\circ - ◡AC - ◡BC$

$◡AB = 360^\circ - 200^\circ - 90^\circ = 70^\circ$

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Вписанный угол $∠ACB$ опирается на дугу $AB$.

Следовательно, его величина вычисляется по формуле:

$∠ACB = \frac{1}{2} ◡AB$

Подставим найденное значение градусной меры дуги $AB$:

$∠ACB = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ$

Ответ: $35^\circ$.

(рис. 1.11). Найдите вписанный угол BCD.

10. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 4 : 5. Под какими углами видна эта хорда из точек окружности?

Пусть хорда делит окружность на две дуги. Полная окружность составляет $360^\circ$. Согласно условию, градусные величины этих дуг относятся как 4:5.

Обозначим градусные меры дуг как $4x$ и $5x$. Их сумма равна градусной мере всей окружности:$4x + 5x = 360^\circ$$9x = 360^\circ$$x = \frac{360^\circ}{9}$$x = 40^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой из дуг:

Меньшая дуга: $4x = 4 \cdot 40^\circ = 160^\circ$

Большая дуга: $5x = 5 \cdot 40^\circ = 200^\circ$

Угол, под которым видна хорда из точки на окружности, является вписанным углом. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Существует два возможных угла, под которыми хорда видна из точек окружности:

1. Если точка зрения находится на большей дуге (градусной мерой $200^\circ$), то вписанный угол будет опираться на меньшую дугу ($160^\circ$). Величина этого угла будет:$\alpha_1 = \frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ$

2. Если точка зрения находится на меньшей дуге (градусной мерой $160^\circ$), то вписанный угол будет опираться на большую дугу ($200^\circ$). Величина этого угла будет:$\alpha_2 = \frac{1}{2} \cdot 200^\circ = 100^\circ$

Следовательно, хорда видна из точек окружности под углами $80^\circ$ или $100^\circ$.

Ответ: $80^\circ$ и $100^\circ$.

11. Хорда AC стягивает дугу окружности в $140^\circ$. Найдите угол $ACB$ между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку C (рис. 17.12).

Рис. 17.12

Для решения данной задачи используется теорема об угле между касательной и хордой. Согласно этой теореме, величина угла, образованного касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равна половине величины дуги, заключенной между его сторонами.
В нашем случае угол $\angle ACB$ образован касательной BC и хордой AC. Точка C является точкой касания. Хорда AC стягивает дугу, градусная мера которой по условию составляет $140^\circ$.
Следовательно, чтобы найти величину угла $\angle ACB$, необходимо градусную меру дуги AC разделить на 2.
Выполним расчет:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

12. Угол между хордой AC и касательной BC к окружности равен 80°. Найдите градусную величину дуги, стягиваемую хордой AC (рис. 17.12).

Рис. 17.12

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Эта теорема гласит, что угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, которую стягивает эта хорда.

В нашем случае даны:

• Касательная $BC$.
• Хорда $AC$, проведенная через точку касания $C$.
• Угол между ними $\angle BCA = 80^\circ$.

Дуга, стягиваемая хордой $AC$ и находящаяся внутри угла $\angle BCA$, — это дуга $AC$ (меньшая).

Согласно теореме, можно записать следующее равенство:

$\angle BCA = \frac{1}{2} \cdot \cup AC$

где $\cup AC$ — это градусная мера искомой дуги.

Подставим в формулу известное значение угла:

$80^\circ = \frac{1}{2} \cdot \cup AC$

Чтобы найти градусную меру дуги $AC$, выразим её из этого уравнения, умножив обе части на 2:

$\cup AC = 2 \cdot 80^\circ$

$\cup AC = 160^\circ$

Таким образом, градусная величина дуги, стягиваемой хордой $AC$, составляет $160^\circ$.

Ответ: $160^\circ$.

13. Найдите величину угла $ACB$ (рис. 17.13).

Рис. 17.13

Для нахождения величины угла $ACB$ воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы одна из сторон клетки сетки была равна единице.

Определим координаты вершин треугольника $ABC$ по рисунку. Пусть точка $A$ имеет координаты $(1, 1)$. Тогда точка $B$ будет иметь координаты $(5, 1)$, а точка $C$ — $(3, 4)$.

Теперь найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны $AC$:

$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $BC$:

$BC = \sqrt{(5-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $AB$:

$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Теперь, зная длины всех трех сторон треугольника, мы можем найти косинус угла $ACB$ с помощью теоремы косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим в формулу найденные значения длин сторон:

$4^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} \cdot \cos(\angle ACB)$

$16 = 13 + 13 - 2 \cdot 13 \cdot \cos(\angle ACB)$

$16 = 26 - 26 \cdot \cos(\angle ACB)$

Выразим из этого уравнения $\cos(\angle ACB)$:

$26 \cdot \cos(\angle ACB) = 26 - 16$

$26 \cdot \cos(\angle ACB) = 10$

$\cos(\angle ACB) = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$

Таким образом, величина угла $ACB$ — это угол, косинус которого равен $\frac{5}{13}$.

Ответ: $\arccos(\frac{5}{13})$.

14. Найдите величину угла $ACB$ (рис. 17.14).

Рис. 17.14

15. Нпйдитe

Для решения задачи введем систему координат. Пусть сторона одной клетки на сетке равна 1. Поместим начало координат в точку С. Тогда, судя по рисунку, точка A будет иметь координаты $(-2, 1)$, а точка B будет иметь координаты $(2, 1)$.

Найдем искомый угол $\angle ACB$ с помощью теоремы косинусов для треугольника $\triangle ABC$. Для этого сначала вычислим длины сторон этого треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны AC:
$AC = \sqrt{(-2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Длина стороны BC:
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Длина стороны AB:
$AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Теперь применим теорему косинусов к $\triangle ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим найденные длины сторон в формулу:
$4^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\angle ACB)$
$16 = 5 + 5 - 2 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ACB)$
$16 = 10 - 10 \cdot \cos(\angle ACB)$
$16 - 10 = -10 \cdot \cos(\angle ACB)$
$6 = -10 \cdot \cos(\angle ACB)$
$\cos(\angle ACB) = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$

Таким образом, величина угла ACB - это угол, косинус которого равен $-3/5$. Это можно записать с помощью функции арккосинуса.

Ответ: Величина угла ACB равна $\arccos(-3/5)$.

15. Найдите величину угла ACB (рис. 17.15).

Рис. 17.15

Для нахождения величины угла ACB, вписанного в окружность, воспользуемся методом координат. Введем систему координат, приняв сторону одной клетки сетки за единицу длины. Пусть начало координат находится в левом нижнем углу видимой части сетки. В этой системе координат вершины треугольника ABC будут иметь следующие координаты: A(1, 2), B(3, 1) и C(2, 4).

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В данном случае, $\angle ACB$ опирается на дугу AB, а соответствующий ему центральный угол — это $\angle AOB$, где O — центр окружности. Таким образом, $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$.

Для нахождения величины $\angle AOB$ сначала определим координаты центра окружности O(h, k). Центр окружности равноудален от всех точек, лежащих на ней, поэтому квадраты расстояний от центра до точек A, B и C равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2$. Составим систему уравнений, приравнивая квадраты расстояний.

Из равенства $OA^2 = OC^2$ следует:

$(1-h)^2 + (2-k)^2 = (2-h)^2 + (4-k)^2$

$1 - 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = 4 - 4h + h^2 + 16 - 8k + k^2$

$5 - 2h - 4k = 20 - 4h - 8k$, что после упрощения дает $2h + 4k = 15$.

Из равенства $OB^2 = OC^2$ следует:

$(3-h)^2 + (1-k)^2 = (2-h)^2 + (4-k)^2$

$9 - 6h + h^2 + 1 - 2k + k^2 = 4 - 4h + h^2 + 16 - 8k + k^2$

$10 - 6h - 2k = 20 - 4h - 8k$, что после упрощения дает $-2h + 6k = 10$, или $h = 3k - 5$.

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим выражение для $h$ в первое уравнение:

$2(3k - 5) + 4k = 15$

$6k - 10 + 4k = 15 \implies 10k = 25 \implies k = 2.5$.

Находим $h$: $h = 3(2.5) - 5 = 7.5 - 5 = 2.5$.

Таким образом, центр окружности находится в точке O(2.5, 2.5).

Теперь найдем величину центрального угла $\angle AOB$, используя скалярное произведение векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.

Координаты векторов:

$\vec{OA} = (A_x - O_x; A_y - O_y) = (1 - 2.5; 2 - 2.5) = (-1.5; -0.5)$

$\vec{OB} = (B_x - O_x; B_y - O_y) = (3 - 2.5; 1 - 2.5) = (0.5; -1.5)$

Скалярное произведение векторов:

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (-1.5)(0.5) + (-0.5)(-1.5) = -0.75 + 0.75 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, они перпендикулярны. Следовательно, угол между ними $\angle AOB = 90^\circ$.

Наконец, зная величину центрального угла, находим искомый вписанный угол $\angle ACB$:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: 45°.