Номер 15, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Найдите величину угла ACB (рис. 17.15).

Рис. 17.15

Для нахождения величины угла ACB, вписанного в окружность, воспользуемся методом координат. Введем систему координат, приняв сторону одной клетки сетки за единицу длины. Пусть начало координат находится в левом нижнем углу видимой части сетки. В этой системе координат вершины треугольника ABC будут иметь следующие координаты: A(1, 2), B(3, 1) и C(2, 4).

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В данном случае, $\angle ACB$ опирается на дугу AB, а соответствующий ему центральный угол — это $\angle AOB$, где O — центр окружности. Таким образом, $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$.

Для нахождения величины $\angle AOB$ сначала определим координаты центра окружности O(h, k). Центр окружности равноудален от всех точек, лежащих на ней, поэтому квадраты расстояний от центра до точек A, B и C равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2$. Составим систему уравнений, приравнивая квадраты расстояний.

Из равенства $OA^2 = OC^2$ следует:

$(1-h)^2 + (2-k)^2 = (2-h)^2 + (4-k)^2$

$1 - 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = 4 - 4h + h^2 + 16 - 8k + k^2$

$5 - 2h - 4k = 20 - 4h - 8k$, что после упрощения дает $2h + 4k = 15$.

Из равенства $OB^2 = OC^2$ следует:

$(3-h)^2 + (1-k)^2 = (2-h)^2 + (4-k)^2$

$9 - 6h + h^2 + 1 - 2k + k^2 = 4 - 4h + h^2 + 16 - 8k + k^2$

$10 - 6h - 2k = 20 - 4h - 8k$, что после упрощения дает $-2h + 6k = 10$, или $h = 3k - 5$.

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим выражение для $h$ в первое уравнение:

$2(3k - 5) + 4k = 15$

$6k - 10 + 4k = 15 \implies 10k = 25 \implies k = 2.5$.

Находим $h$: $h = 3(2.5) - 5 = 7.5 - 5 = 2.5$.

Таким образом, центр окружности находится в точке O(2.5, 2.5).

Теперь найдем величину центрального угла $\angle AOB$, используя скалярное произведение векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.

Координаты векторов:

$\vec{OA} = (A_x - O_x; A_y - O_y) = (1 - 2.5; 2 - 2.5) = (-1.5; -0.5)$

$\vec{OB} = (B_x - O_x; B_y - O_y) = (3 - 2.5; 1 - 2.5) = (0.5; -1.5)$

Скалярное произведение векторов:

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (-1.5)(0.5) + (-0.5)(-1.5) = -0.75 + 0.75 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, они перпендикулярны. Следовательно, угол между ними $\angle AOB = 90^\circ$.

Наконец, зная величину центрального угла, находим искомый вписанный угол $\angle ACB$:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: 45°.