Номер 21, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Докажите, что если хорды $AC$ и $BD$ окружности параллельны, то дуги $\widehat{AB}$ и $\widehat{CD}$, заключенные между этими хордами, равны (рис. 17.18).

Рис. 17.18

Для доказательства данного утверждения выполним дополнительное построение и воспользуемся свойствами вписанных углов окружности.

Доказательство:

1. Соединим точки $A$ и $D$ отрезком, получив хорду $AD$. Эта хорда будет служить секущей для параллельных хорд $AC$ и $BD$.

2. Рассмотрим углы $\angle CAD$ и $\angle BDA$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых $AC$ и $BD$ секущей $AD$.

3. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны. Следовательно, мы можем записать равенство: $\angle CAD = \angle BDA$.

4. Угол $\angle CAD$ является вписанным в окружность. Он опирается на дугу $CD$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\angle CAD = \frac{1}{2} \smile CD$.

5. Аналогично, угол $\angle BDA$ также является вписанным в окружность и опирается на дугу $AB$. Его величина равна половине градусной меры дуги $AB$: $\angle BDA = \frac{1}{2} \smile AB$.

6. Так как мы установили, что $\angle CAD = \angle BDA$, то равны и половины дуг, на которые они опираются: $\frac{1}{2} \smile CD = \frac{1}{2} \smile AB$.

7. Умножив обе части этого равенства на 2, получаем, что градусные меры дуг равны: $\smile CD = \smile AB$.

Таким образом, утверждение доказано: дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.

Ответ: Дуги $\smile AB$ и $\smile CD$ равны.