Номер 23, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. К двум окружностям, касающимся внешним образом в точке $A$, проведена общая касательная $BC$ ($B$ и $C$ — точки касания). Докажите, что угол $\angle BAC$ — прямой (рис. 17.20).

Рис. 17.20

Для доказательства того, что угол $BAC$ является прямым, воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки.

1. Проведем через точку $A$ (точку касания двух окружностей) общую касательную к этим окружностям. Пусть эта касательная пересекает прямую $BC$ в точке $M$.

2. Рассмотрим окружность с центром $O_1$. Отрезки $MA$ и $MB$ являются касательными к этой окружности, проведенными из одной точки $M$. Согласно свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны: $MA = MB$.

3. Поскольку $MA = MB$, треугольник $AMB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle MAB = \angle MBA$.

4. Аналогично рассмотрим окружность с центром $O_2$. Отрезки $MA$ и $MC$ являются касательными к этой окружности, проведенными из точки $M$. Следовательно, их длины также равны: $MA = MC$.

5. Поскольку $MA = MC$, треугольник $AMC$ является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle MAC = \angle MCA$.

6. Таким образом, в треугольнике $ABC$ точка $M$ на стороне $BC$ такова, что $MA = MB = MC$. Это означает, что $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а отрезок $BC$ — её диаметром. Медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, к которой она проведена.

7. По свойству треугольника, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник является прямоугольным. Угол, противолежащий этой стороне (в данном случае $\angle BAC$), является прямым.

Можно также завершить доказательство через сумму углов треугольника:

Пусть $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$ и $\angle MAC = \angle MCA = \beta$.

Тогда угол $\angle BAC = \angle MAB + \angle MAC = \alpha + \beta$.

Рассмотрим сумму углов треугольника $ABC$: $\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ$

Подставим наши обозначения: $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Поскольку $\angle BAC = \alpha + \beta$, то $\angle BAC = 90^\circ$.

Ответ: Угол $BAC$ является прямым, что и требовалось доказать.