Номер 1, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Вписанные углы $\angle ADB$ и $\angle DAE$ равны соответственно $50^\circ$ и $25^\circ$. Найдите угол $\angle ACB$, образованный пересекающимися хордами AD и BE (рис. 18.4).

Рис. 18.4

Для нахождения угла $\angle ACB$, образованного пересекающимися хордами $AD$ и $BE$, рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. Угол $\angle ACB$ является внешним для этого треугольника при вершине $C$.

По свойству внешнего угла треугольника, его градусная мера равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. В данном случае это углы $\angle CAE$ и $\angle AEC$.

$\angle ACB = \angle CAE + \angle AEC$

1. Найдем величину угла $\angle CAE$.
Угол $\angle CAE$ — это тот же самый угол, что и данный в условии вписанный угол $\angle DAE$, поскольку точка $C$ лежит на хорде $AD$.
Следовательно, $\angle CAE = \angle DAE = 25^\circ$.

2. Найдем величину угла $\angle AEC$.
Угол $\angle AEC$ (который также является углом $\angle AEB$) — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. В условии дан другой вписанный угол, $\angle ADB$, который также опирается на ту же самую дугу $AB$.

3. Используем свойство вписанных углов.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Следовательно, $\angle AEC = \angle ADB = 50^\circ$.

4. Вычислим искомый угол $\angle ACB$.
Теперь, зная величины двух углов, мы можем найти их сумму:
$\angle ACB = \angle CAE + \angle AEC = 25^\circ + 50^\circ = 75^\circ$.

Альтернативный способ:
Можно воспользоваться теоремой об угле между пересекающимися хордами. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.
$\angle ACB = \frac{1}{2}(\text{◡}AB + \text{◡}DE)$
Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.- Дуга $AB$ соответствует вписанному углу $\angle ADB$, значит, ее мера равна $2 \cdot \angle ADB = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.- Дуга $DE$ соответствует вписанному углу $\angle DAE$, значит, ее мера равна $2 \cdot \angle DAE = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$.
Подставив значения, получаем:
$\angle ACB = \frac{1}{2}(100^\circ + 50^\circ) = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$