Номер 24, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $H$ (рис. 17.21). Докажите, что треугольники $ABH$ и $EDH$ подобны.

Рис. 17.21

Рассмотрим треугольники AEH и BDH.

Поскольку AD и BE являются высотами треугольника ABC, они перпендикулярны сторонам BC и AC соответственно. Следовательно, треугольники BDH и AEH являются прямоугольными.

В этих треугольниках:

1. $\angle BDH = 90^\circ$ (так как AD - высота).

2. $\angle AEH = 90^\circ$ (так как BE - высота).

3. $\angle BHD = \angle AHE$ (как вертикальные углы).

Таким образом, треугольники AEH и BDH подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). В записи подобия важен порядок вершин: $\triangle AEH \sim \triangle BDH$.

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AH}{BH} = \frac{EH}{DH} = \frac{AE}{BD}$

Возьмем первую часть этой пропорции $\frac{AH}{BH} = \frac{EH}{DH}$ и преобразуем ее, используя свойство пропорции (поменяв местами средние члены):

$\frac{AH}{EH} = \frac{BH}{DH}$

Теперь рассмотрим треугольники ABH и EDH, подобие которых нам нужно доказать.

1. Угол $\angle AHB$ в треугольнике ABH равен углу $\angle EHD$ в треугольнике EDH, так как они являются вертикальными: $\angle AHB = \angle EHD$.

2. Стороны, образующие эти углы, пропорциональны, как мы показали выше: $\frac{AH}{EH} = \frac{BH}{DH}$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольники ABH и EDH подобны.

Ответ: Что и требовалось доказать.