Номер 25, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $H$. Используя рисунок $17.21$, докажите, что треугольники $ABC$ и $DEC$ подобны.

Рис. 17.21

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $DEC$ воспользуемся признаком подобия по двум углам. Нам нужно показать, что две пары углов этих треугольников соответственно равны.

1. Найдём первую пару равных углов.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$. Угол при вершине $C$ у них является общим. Таким образом, $\angle ACB = \angle DCE$.

2. Найдём вторую пару равных углов.
По условию, $AD$ и $BE$ — высоты треугольника $ABC$. Это означает, что $AD \perp BC$ и $BE \perp AC$. Следовательно, углы $\angle ADB$ и $\angle AEB$ являются прямыми: $\angle ADB = 90^\circ$ и $\angle AEB = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDE$. Так как углы $\angle AEB$ и $\angle ADB$ оба равны $90^\circ$ и опираются на один и тот же отрезок $AB$, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность (с диаметром $AB$). Четырехугольник, который можно вписать в окружность, называется вписанным.

Одно из свойств вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Для четырехугольника $ABDE$ это означает, что $\angle AED + \angle ABD = 180^\circ$.

Точка $E$ лежит на стороне $AC$, поэтому точки $A, E, C$ лежат на одной прямой. Углы $\angle AED$ и $\angle CED$ являются смежными, и их сумма также равна $180^\circ$: $\angle AED + \angle CED = 180^\circ$.

Из двух полученных равенств:
$\angle AED + \angle ABD = 180^\circ$
$\angle AED + \angle CED = 180^\circ$
следует, что $\angle ABD = \angle CED$.

Угол $\angle ABD$ — это тот же самый угол, что и $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$. Следовательно, $\angle ABC = \angle CED$.

3. Заключение.
Мы установили, что в треугольниках $ABC$ и $DEC$ есть две пары равных углов:

• $\angle ACB = \angle DCE$ (общий угол)
• $\angle ABC = \angle CED$ (как доказано выше)

Ответ: Треугольники $ABC$ и $DEC$ подобны по двум углам. Угол $C$ у них общий. Равенство углов $\angle ABC = \angle CED$ доказывается с использованием свойства вписанного четырехугольника $ABDE$ (точки $A, B, D, E$ лежат на одной окружности, так как высоты $AD$ и $BE$ образуют прямые углы $\angle ADB$ и $\angle AEB$, опирающиеся на отрезок $AB$).