Вопросы, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чем измеряется угол, вершина которого лежит внутри окружности?

2. Чем измеряется угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность?

3. Чем измеряется угол с вершиной вне окружности, одна сторона которого пересекает окружность, а другая касается окружности?

1. Чем измеряется угол, вершина которого лежит внутри окружности?

Угол, вершина которого находится внутри окружности, образован двумя пересекающимися хордами. Согласно теореме, такой угол измеряется половиной суммы градусных мер дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между сторонами вертикального ему угла. Пусть хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Тогда величина угла $\angle APB$ вычисляется по формуле:

$\angle APB = \frac{1}{2}(\text{дуга }AB + \text{дуга }CD)$

Ответ: Угол, вершина которого лежит внутри окружности, измеряется полусуммой градусных мер дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный ему угол.

2. Чем измеряется угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность?

Такой угол образован двумя секущими, проведенными из одной точки. Его величина равна половине разности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых его сторонами на окружности. Пусть из точки $P$ вне окружности проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках $A, B$ и $C, D$ (так, что точки расположены в порядке $P-A-B$ и $P-C-D$). Угол $\angle BPD$ высекает на окружности дальнюю дугу $BD$ и ближнюю дугу $AC$. Его величина вычисляется по формуле:

$\angle BPD = \frac{1}{2}(\text{дуга }BD - \text{дуга }AC)$

Ответ: Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность (угол между двумя секущими), измеряется полуразностью градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых его сторонами на окружности.

3. Чем измеряется угол с вершиной вне окружности, одна сторона которого пересекает окружность, а другая касается окружности?

Такой угол образован касательной и секущей, проведенными из одной точки. Его величина равна половине разности градусных мер дуг, заключенных между его сторонами. Пусть из точки $P$ вне окружности проведена касательная $PT$ (где $T$ – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (так, что точки расположены в порядке $P-A-B$). Угол $\angle BPT$ высекает на окружности дальнюю дугу $BT$ и ближнюю дугу $AT$. Его величина вычисляется по формуле:

$\angle BPT = \frac{1}{2}(\text{дуга }BT - \text{дуга }AT)$

Ответ: Угол с вершиной вне окружности, образованный касательной и секущей, измеряется полуразностью градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.