Номер 5, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите угол $ACB$, если его сторона $CA$ касается окружности, сторона $CB$ проходит через центр окружности, а дуга $AD$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $50^\circ$ (рис. 18.5).

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных и центральных углов окружности.

1. Проведем радиус $OA$ в точку касания $A$. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, треугольник $OAC$ является прямоугольным, а угол $OAC$ равен $90^\circ$.

2. Угол $AOD$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AD$. По определению, градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. По условию задачи, дуга $AD$ равна $50^\circ$, значит, $\angle AOD = 50^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $OAC$ нам известны два угла: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle AOC$.

Поскольку сторона $CB$ угла $ACB$ проходит через центр окружности $O$, точки $C$, $D$, $O$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle AOC$ совпадает с углом $\angle AOD$. Таким образом, $\angle AOC = 50^\circ$.

Теперь мы можем найти третий угол треугольника $OAC$, который и является искомым углом $ACB$ (или $ACO$):

$\angle ACB = \angle ACO = 180^\circ - \angle OAC - \angle AOC$

Подставим известные значения:

$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.